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複素解析（最大値の原理？）

複素解析 f(z)をn次多項式とするとき曲線　C＝{z;|f(z)|=k}　の連結成分は高々n個であることを示せ。という問題がわかりません。多分最大値の原理とかの話だと思うのですが。お願いします。

みんなの回答

  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.1

なかなか反応がつかないので。。。 ＞多分最大値の原理とかの話だと思うのですが。お願いします。 どうして最大値の原理だと思うのですか？ そこがポイントだと思うのです． で・・・ あなたのうけてる講義とかで使ってる教科書とかに 何かでてませんか？ 先生に聞いてみたりしました？ あなたの予備知識が不明なのですが， これは代数学の基本定理とルーシェの定理（から導出される定理群）の 合わせ技じゃないかな． まじめに証明しようとするとしんどいかもしれません． アウトラインは書けるけど，素で厳密に書けといわれると かけません(^^;; 直観的にはこの事実は「当たり前」です． 正則関数fと複素数w0に対して f(z)-w0がz0をk位の零点として持つ場合， w0からちょっとでもずれた値w1をとると f(z)-w1はz0の近傍でk個の1位の零点をもつのです． つまり「k位の零点」が「ばらばら」になるのです． ということは，fがn次多項式の場合， 最大でもn個の解しかないわけで，仮に |f(z)|=k，つまり，f(z)=ke^{iθ}が重解をもってても， ちょっとでもずらす（この場合，θをずらす）と ばらばらに分かれるのです． どうあがいてもn個以上にはばらばらに分かれません． 幾何的にはn次多項式は，n重の分岐被覆を持つことという ように表現されます．「アールフォルスの教科書」とか 複素解析幾何の本，たとえば「グリフィス・ハリス」とか， 複素代数幾何の本， たとえば「堀川さんの本」とか「小平・スペンサー」とか 「岩波基礎数学の小平本シリーズ」とか そのあたりを物色するとヒントがあるかもしれません．

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