複素解析の質問です

質問

複素解析の質問です
∫_c {1/(1+z^2)}dz　c：z(t)=2e^it
このような積分の値を求めるときどのように求めればいいのでしょう
この問題の具体的な答えではなく、解き方の方向性？が知りたいです。
お願いします。

回答No.2

info22

#1です。
留数定理はコーシーの第一定理（コーシーの積分公式）と第2定理（コーシーの積分公式）を組み合わせて効率的に積分をするための定理に過ぎません。
習っていないからといって、第一定理と第二定理の内容を使った定理が留数定理ですから、予習してやればいいかと思います。

第一定理は、積分路（原点を中心とする半径2の円）を被積分関数の特異点（z=±i）の回りの積分に分割変形するための根拠となる定理です。

積分路C:|z|=2 → C1:|z-i|=ε(>0)とC2:|z+i|=ε(>0)に分割
∫_c 1/(z^2+1)dz=∫_c1 1/(z^2+1)dz+∫_c2 1/(z^2+1)dz

第二定理（コーシーの積分公式）は特異点ごとに積分値を与える公式です。
∫_c1 1/(z^2+1)dz=2πif1(i), f1(z)=1/(z+i)
∫_c2 1/(z^2+1)dz=2πif2(-i),f2(z)=1/(z-i)

上記をつなげてやれば道筋ができるでしょう。
あとは自分で考えて下さい。

お礼

ありがとうございました。
なんとかわかりそうです

回答No.1

info22

単純な問題じゃないですか？
Cの半径２の円内に含まれる特異点z=±iにおける2個の留数を求め、その和を2πiするだけ。これは留数定理です。

お礼

回答ありがとうございます。
ただまだ留数定理を習っていないんです・・・
多分コーシーの積分定理を使うのだと思うのですが