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最大値の原理
Ω:=｛Z∈C| |z|<1｝とする、 ｆ： Ω→C を ｆ（ｚ）＝e^（z^2） で定める。 このとき、|ｆ（ｚ）| (z∈Ω~)の最大値および そのときのｚ∈Ω~を求めよ。 （ヒント：最大値の原理からの ∂Ω＝｛e^iθ｜０<=θ<=2π｝∋ｚ、における|f(z)|を調べればよい。） 答え：z=-1、+１のとき|ｆ（ｚ）|は最大値 e をとるのですがそこに至れません。 どなたか教えてください。 お願いします。
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質問中に書いてあるヒントがまさに回答そのものだと思いますが… [回答] fは整関数なので最大値の原理から領域 Ω の境界で最大値をとる. z = exp(iθ) (ただし 0 ≦ θ < 2π)とおけば |f(z)| = |exp(z^2)| = exp(Re(z^2)) = exp(cos(2θ)) である. これが最大値をとるのは明らかに cos(2θ) = 1 のときなので θ = 0, π のとき, つまり z = ±1 のときに |f(z)| は最大値 e をとる. □
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