最大値の原理

質問

Ω:=｛Z∈C| |z|<1｝とする、
ｆ：　Ω→C　を
ｆ（ｚ）＝e^（z^2）
で定める。

　このとき、|ｆ（ｚ）| (z∈Ω~)の最大値および
そのときのｚ∈Ω~を求めよ。

（ヒント：最大値の原理からの　∂Ω＝｛e^iθ｜０<=θ<=2π｝∋ｚ、における|f(z)|を調べればよい。）

答え：z=-1、+１のとき|ｆ（ｚ）|は最大値　e　をとるのですがそこに至れません。

どなたか教えてください。
お願いします。

回答No.1

ask-it-aurora

質問中に書いてあるヒントがまさに回答そのものだと思いますが…

[回答]
fは整関数なので最大値の原理から領域 Ω の境界で最大値をとる. z = exp(iθ) (ただし 0 ≦ θ < 2π)とおけば
|f(z)| = |exp(z^2)| = exp(Re(z^2)) = exp(cos(2θ))
である. これが最大値をとるのは明らかに cos(2θ) = 1 のときなので θ = 0, π のとき, つまり z = ±1 のときに |f(z)| は最大値 e をとる. □

お礼

回答ありがとうございました。