最大値と上限

質問

以下の最大値原理を考えています。

有界領域Ω⊂R^2に対して実数値関数u(x)はΩの閉包Ω*で連続かつΩで連続とする。
このとき成り立つ、下の(1)(2)は同値らしいのですが、
上限と最大値は違うものなのに、何故でしょうか？
仮定のもとでuは境界で最大値をとる、というのが最大値原理と理解しています。
なぜそれが（１）のようなsupで表記できるのですか？

(1)sup[x∈Ω]u(x)=sup[x∈∂Ω]u(x)
（Ωでのuの上限は、Ωの境界∂Ωでのuの上限と等しい）

(2)max[x∈Ω*]u(x)=max[x∈∂Ω]u(x)
（Ωでのuの最大値は、Ωの境界∂Ωでのuの最大値と等しい）

どなたか解説をよろしくお願い致します。

回答No.2

noname#160683

その前に気になるのは
「このとき成り立つ、下の(1)(2)は…」。
この部分は正しくない気がするのですが?
あと書き間違いかと思いますが(2)の意味は
（Ωの閉包Ω*でのuの最大値は、Ωの境界∂Ωでのuの最大値と等しい）
ですね。

境界∂Ωは閉なのでΩの有界性、uの連続性より
関数uを境界∂Ωに制限したものは最大値
（これをvとする）を持つことは分かるかと思います。
（これに注意すれば同値性を示すのは自力でできる/やった方がいいと思うので、
ここから下は読まなくていい/読まない方がいいです…。
自分の回答の確認に役立ててください。）

したがって関数uをΩ上に制限したものの上限がvであるとすれば、
定義より、Ωの任意の点xについてu(x)≦vですから、
vは関数uの閉包Ω*上での最大値でもあります。

逆に、関数uの閉包Ω*上での最大値vが
境界∂Ωのある点bで得られるとします。
するとuの連続性より、vに任意に近い値v-ε<vについて、
さきほどの境界上の点bに十分近いΩの点xを選ぶと
u(x)>v-εになる。
よって関数uのΩ上での上限はvなのです。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

閉包だからでしょう。

境界を含まない集合だと、上限は存在しても、最大値が存在しない場合があります。