一様連続性に関して

質問

以下の証明をお教え下さい。

ω(δ)=sup{ |f(x)-f(x')| | x,x'∈I, |x-x'|≦δ 、f(x)は定義域 I で連続}
にて、δ≦δ’ならばω(δ)≦ω(δ')
となる理由をお教え下さい。

＜追伸＞
δが大きくなれば、supをとる範囲が増えるので、当たり前のことなのでしょうが、数式で表現出来ません。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

ヒント：
定義を確認する。
Rを実数体として、S(δ) = { y∈ R | あるx,x'∈Iがあって、 |x-x'|≦δかつ y=|f(x)-f(x')|}としたおいておく。 Upper(A)でAの上界を表すことにする。Upper(A) = {z∈ R| 任意のa∈Aに対し、a≦z}
のことだった。
この時、w(δ) = min( Upper(S(δ) ), w(δ’) = min( Upper(S(δ') )の事となる。

なので、
* z∈ Upper(S(δ) )→ z≧w(δ)
* w(δ’) ∈ Upper(S(δ')
だから
「z∈ Upper(S(δ') ) → z∈ Upper(S(δ) )」
を示せばよいが、これはそうでしょう？

もう少し書くと、z∈ Upper(S(δ') ) を書き下せば、
『 実数yが、「あるx,x'∈Iがあって、 |x-x'|≦δ'かつ y=|f(x)-f(x')|」となるなら y≦z 』ということ。z∈ Upper(S(δ) ) も同様に書きくだしてみれば分かる。

お礼

早速のヒントを誠に有り難う御座います。

今、自分で何度も論理を書きながら、理解を深めております。

有り難う御座いました。