一様連続性について(2)

質問

過日、

ω(δ)=sup{ |f(x)-f(x')| | x,x'∈I, |x-x'|≦δ 、f(x)は定義域 I で連続}にて、δ≦δ’ならばω(δ)≦ω(δ')

の証明をご教示頂きました。誠に有り難う御座いました。

これに関連して、もう一つ、お教え下さい。

任意のδ＞0に対して、ω(2δ)≦2ω(δ)　は分かったのですが、

これから、

(1)ω(δ)があるδ＞0に対して有限ならば、全てのδ＞0に対して有限である。
(2)ω(δ)があるδ＞0に対して無限大ならば、全てのδ＞0に対して無限大である。

が分かりません。

何卒お教え下さい。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

先ず、(2)は(1)の対偶。

その上で、(1)について、あるDがあってw(D)が有限とする。
その時、勝手なδに対して、Archimedesの原理より、(2^n) * D ≧ δなる非負整数 nがある。この時 帰納法からw((2^n) D) ≦ 2^n w(D)。
更にx≦yならばω(x)≦ω(y) なのだからw(δ)≦ w((2^n) * D)より明らか。

因みに、前の問いは、解決したのであれば閉じておいてください。

お礼

早速のご回答、誠に有り難う御座います。

頂いたご回答を元に自分なりに考え続けております。大分、理解が深まって参りました。

この度も有り難う御座いました。