一次元ユークリッド空間における連続

質問

お世話になります。
Rを1次元ユークリッド空間としf,g:R→Rを関数とする。このときf,gが連続であるならば、その合成関数g・ｆ：R→Rも連続である事を示せ。
ただし関数ｆが連続であるという事は、任意のｘ∈Rにおいてｆが連続となる事であり、また、任意のｘ∈Rでｆが連続である事は次の様に定義される。
　　　任意のε＞０に対して、あるбが存在して│ｘーｘ0│＜бならば、│f(x)-f(x0)│＜εが任意のｘ∈Rに対して成立する
という問題で、
任意のε＞０に対して、あるбが存在して│ｘーｘ0│＜бならば、│f(x)-f(x0)│＜εが任意のｘ∈Rに対して成立する
ですでに証明ができている様な気がして、問題の意図すら分かりません。

回答No.1

koko_u_

>任意のε＞０に対して、あるбが存在して│ｘーｘ0│＜бならば、
>│f(x)-f(x0)│＜εが任意のｘ∈Rに対して成立する
>ですでに証明ができている様な気がして
証明するのは、合成関数 g(f(x)) の連続性です。「できているような気がする」ではなく、定義に沿って愚直に証明しましょう。