連続関数の拡張

質問

一次元だとやさしすぎますが、
一般のR^dの閉集合F上での連続関数fが与えられたとき
それをR^dの連続関数に拡張することはできますか？
できるとすればどうすればよいでしょうか。

なお境界点xでfが連続とは
任意のε>0に対してxの近傍B_εが存在して、
y∈B_ε∩F ⇒ |f(x)-f(y)|<ε
を満たすこととします。

回答No.1

noname#108554

拡張とはどういう意味でしょうか？

例えば、R^d上連続関数をgとすると、単に
g|F(定義域をFに制限)=fを満たすようなものなら
いくらでもつくれます。

お礼

解決しました。考えていただいてありがとうございます。

補足

拡張とはおっしゃる通りの意味です。問題にしていたのはどのようにgを作ったらよいのか、ということだったのですが、Uryzohnの補題を用いたTietzeの拡張定理というものがあって、それで一般の正規空間の閉集合に対して常に拡張が存在するということがわかりました。