- ベストアンサー
積分に関する証明問題
T={f:R→R | fは連続であって、また、あるM≧0が存在して、|x|>M ⇒f(x)=0 が成り立つ} とすると、 連続関数G:R→Rであって、条件 f∈T ならば ∫(-∞→+∞)G(x)f(x) =f(0) が成り立つ を満たすものは存在しないことを示して下さい。
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
方針:G(x)がx=0以外の点で0以外の値を取ることがあれば、f(x)としてその点の近傍だけで0以外の値をとるような関数を使うと矛盾してしまう、という方針で行く ある z≠0 が存在して G(z)≠0であるとする。一先ずG(z) = H > 0とおくと、Gは連続であるから、あるδ>0があって、|x-z|<δなら |H-G(x)| < H/2、即ち G(x) > H/2となる。従ってα = min { δ , |z| } > 0 とおくと、|x-z| < αなら、x≠0かつG(x) > H/2 となる。 今、e(x) = α - |x-z| (|x-z| < α) , 0 (それ以外)とおけば、eは連続、かつ|x|≧ |z|+αならばe(x) = 0である故、e∈Tであって、かつe(x) = 0である。 ここで ∫(-∞→+∞) e(x) G(x) dx = ∫(z-α→z+α) e(x) G(x) dx > (H/2) ∫(z-α→z+α) e(x) dx = (H/2) * α^2 > 0。ところがe(x) = 0でe∈Tであるから、 ∫(-∞→+∞) e(x) G(x) = e(0) = 0でなければならない。これは矛盾である。 G(z) < 0とおいても同様に矛盾が生じる。 従って z≠0 ならG(z) = 0 でなければならない。GはRで連続であるから、 G(0) = lim[x→+0]G(x) = 0となり、結局全ての実数xでG(x) = 0である。 したがって f∈T ならば、あるM>0があって、|x|>Mならばf(x) = 0である故、 ∫(-∞→+∞)G(x)f(x) dx = ∫(-M→M)G(x)f(x) dx = 0となってしまって矛盾である。[qed]
関連するQ&A
- 数学の積分の問題なのですが、わからないのでどなたか教えていただけると嬉
数学の積分の問題なのですが、わからないのでどなたか教えていただけると嬉しいです。 問題 2次関数f(x)およびg(x)が x ∫ {2f(t)+g(t)}dt=x二乗-4x+3,f'(x)-g'(x)=-3,f(1)=1 1 の条件を満たすとき、f(x),g(x)を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の最小値の問題がわかりません
R×R上の連続な関数f(x,y)>=0, ∬ f dxdy = 1, ∬(x^2+y^2) f dxdy < ∞(ただし、∬はx, yについて[-∞,∞]での積分を意味するものとする)。このとき、 (1) 以下のコーシー・シュワルツの不等式を示せ(これはできました)。 {∬xy f dxdy}^2 <= ∬x^2 f dxdy × ∬y^2 f dxdy (2) ∬{y-g(x)}^2 f dxdy を最小にするxの関数 g(x) を求めよ。 おそらく(1)の不等式を使うのでしょうが、どうすればg(x)が一意に定まるまでに変形できるのかがわかりません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学(微積分)の問題です。
数学(微積分)の問題です。 2変数関数f=f(t,s)はR^2上定義されたC^1関数とすsる。 (1)F(t,x)=∫[0~x]f(t,s)dsは(t,x)のC^1関数であることを示せ。 (2)g(t)=∫[0~t]f(t,s)dsとおくと、g'(t)=f(t,t)+∫[0~t]ft(t,s)ds (ここでftはfのtでの偏微分) となることを示せ。 1は両辺微分?それで示せたことになりますか? 2は、微分してみましたがあまりうまくいきませんでした。 解答の過程を教えてください。 よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分 証明 問題
積分 証明 問題 (1)∫[0~π](x・sinx)dxをx=π-tとおいて求めなさい。 (2)f(x)が区間[-1,1]で連続であるとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。 ∫[0~π]x・f(sinx)dx =π/2∫[0~π]f(sinx)dx (1)はπと求めることが出来ました。 (2)も(1)と同様に置換して証明できました。 問題にある「f(x)が区間[-1,1]で連続であるとき」に関しては 特に何も考えなかったのですが「f(x)が区間[-1,1]で連続であるとき」 とは何を言いたいのでしょうか?sinxの周期は-1から1なので、 単純にf(x)が連続のときと解釈してよいですか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 統計学の証明問題をどなたか教えてもらえませんか
授業で出された課題なのですが,分からないのでどなたか教えてもらえませんかお願いします. Fを分布関数とし,関数F^-1(t) , 0<t<1 は非減少で左側連続とするとき,以下の3つが成り立つことを証明せよ. (1) F^-1(F(x)) =< x , -∞<x<∞ (2) F(F^-1(t)) >= t , 0<t<1 (3) x >= F^-1(t) ならば F(x) >= t
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます!