証明の問題です。

質問

証明の問題です。

f [a,b]→R　を連続関数とする。
f (c) > 0 (c∈(a,b))　ならばｃを含む区間（ｃ-δ, ｃ+δ）が存在して
ｘ∈（ｃ-δ, c+δ) ならば f (x) > 0 を示せ。

よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

そのような δ が存在しない…　すなわち、
c を含む任意の区間 (c-δ, c+δ) が f(x) ≦ 0 となる x を含む
と仮定する。　すると、

f が [a, b] で連続だから、lim[x→c] f(x) は収束するのだが、
c の任意の近傍に f(x) ≦ 0 となる x が在るから、lim[x→c] f(x) ≦ 0
である。

これは、lim[x→c] f(x) = f(c) ＞ 0 であることに反する。
よって、背理法により、題意は成立する。