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積分の証明
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∫(-x→х)f(x)dt=sin2x ∫(-х→х){f(t)}^2dt=x+1/4sin4x は、それぞれ ∫(-x→х)f(t)dt=sin2x ∫(-х→х){f(t)}^2dt ≧ x+1/4sin4x の書き間違いですね。 f(t) + f(-t) = 2cos(2t) が成り立ちますので、これを利用しましょう。 {f(t)}^2の積分があるので、まずは上の関係式の両辺を二乗してみます。 {f(t)}^2 + {f(-t)}^2 + 2f(t)f(-t) = 4{cos(2t)}^2 次に積分するのですが、積分範囲はとりあえず0~xで積分してみます。 ∫(0→x) ({f(t)}^2 dt + {f(-t)}^2 dt + 2f(t)f(-t)) dt = ∫(0→x) 4{cos(2t)}^2 dt これを変形すると ∫(-x→x) {f(t)}^2 dt + 2∫(0→x) f(t)f(-t) dt = 2x + (1/2)sin(4x) 示したい不等式にかなり近づいてきましたが、f(t)f(-t)の積分が残っています。 しかし、任意のtについて f(t)f(-t) ≦ {f(t) + f(-t)}^2 / 4 = {cos(2t)}^2 なので、 ∫(0→x) f(t)f(-t) dt ≦ ∫(0→x) {cos(2t)}^2 dt となり、目的の不等式を示すことができます。
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- yyssaa
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∫f(t)dt=F(t)+C(定数)とするとf(t)=dF/dt ∫[-x→x]f(t)dt=F(x)-F(-x)=sin2x、xで微分して dF/dx+dF/dx=2cos2xからdF/dx=cos2x 変数をtとしてf(t)=cos2tから{f(t)}^2=cos^22t ∫[-x→x]{f(t)}^2dt=∫[-x→x]cos^22tdt=2∫[0→x]cos^22tdt 2t=sとして2dt=ds 2∫[0→x]cos^22tdt=∫[0→2x]cos^2sds cos2s=cos^2s-sin^2s=2cos^2s-1からcos^2s=(1+cos2s)/2 ∫[0→2x]cos^2sds=∫[0→2x]{(1+cos2s)/2}ds =∫[0→2x](1/2)ds+(1/2)∫[0→2x]cos2sds =(1/2)(2x-0)+(1/2){(1/2)sin2s}[0→2x] =x+(1/4)sin4x
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お礼
質問が間違えてしまいご迷惑かけてすいません。 詳しい解説ありがとうございます。