積分について

質問

f(x)は連続関数であり 任意の実数xに対して∫(-х→х)f(t)dt=sin2xを満たすとする。この時,g(x)=f(x)-cos2xとおくと、g(x)が奇関数であることを示せ。について教えてください

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

∫(-x→x)f(t)dt=sin(2x) ...(1)
f(t)の原始関数をF(t)とおくと
F'(t)=f(t)
(1)は
F(x)-F(-x)=sin(2x)
両辺をxで微分して
f(x)-(-f(-x))=2cos(2x)

∴f(-x)=2cos(2x)-f(x)
この式を用いれば,g(x)=f(x)-cos(2x)より
g(-x)=f(-x)-cos(2x)
={2cos(2x)-f(x)}-cos(2x)
=-f(x)+cos(2x)
=-{g(x)+cos(2x)}+cos(2x)
=-g(x)

以上より
　g(-x)=-g(x)
これはg(x)が奇関数である事を示している。

お礼

詳しく解説していだたき有り難うございます。

回答No.1

Ae610

∫(-x→x){g(t)}dt = 0
・・・が言えればよいと思う・・・！