対称式の最大値

質問

次の問題の解き方を教えてください．

x，y，z は，x^2 + y^2 + z^2 = 1 を満たす実数とする．

(1)　　(x-y)(y-z)(z-x) の最大値を求めよ．
(2)　　(2x-y)(2y-z)(2z-x) の最大値を求めよ．

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

実数x,y,zが
x^2 + y^2 + z^2 = 1
という制約があるため
ラグランジュの未定定数法を使えば、
評価式が極大、極小となる候補の停留点の座標が全て分かる。極大値の中の最大のものが最大値であり、極小値の中の最小値のものが最小値である。今回の問題では最大値の方だけを求めれば良いことになる。

h(x,y,z)=f(x,y,z)-tg(x,y,z)
とおく。

長くなるので取り敢えず
(1)だけ
(2)も同様の方法で解けるので自助努力でもやってみて下さい。
分からなければ、分かる範囲でやった途中計算を補足に書いて質問下さい。

f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x),g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1
h(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)-t(x^2+y^2+z^2-1)
ラグランジュの未定定数法より
hx=-z^2+2*x*z+y^2-2*x*y-2*t*x=0 ...(A)
hy=z^2-2*y*z+2*x*y-2*t*y-x^2=0 ...(B)
hz=2*y*z-2*x*z-2*t*z-y^2+x^2=0 ...(C)
g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0 ...(D)
連立にして解く。
(A)+(B)+(C)より
-2t(z+y+x)=0 ∴t=0,x+y+z=0

t=0の時
(x,y,z)=(1/√3,1/√3,1/√3),f(x,y,z)=0
(x,y,z)=(-1/√3,-1/√3,-1/√3),f(x,y,z)=0
x+y+z=0の時
t=-3√2/4の時,
(x,y,z)=(-1/√2,1/√2,0),(1/√2,0,-1/√2),(0,-1/√2,1/√2)
これらの(x,y,z)に対し　f(x,y,z)=-1/√2

t=3√2/4の時,
(x,y,z)=(1/√2,-1/√2,0),(-1/√2,0,1/√2),(0,1/√2,-1/√2)...(◆)
これらの(x,y,z)に対し　f(x,y,z)=1/√2 ...(★)

(x,y,z)=(0,0,0)の時、任意の実数tに対し f(x,y,z)=0

以上の中に極大となる場合が全て含まれており、極大値の内の最大のものは (★)の「1/√2」であるから、
f(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)の最大値1/√2となる。
最大値を与える(x,y,z)は(◆)の(x,y,z)である。

なお、ラグランジュの未定乗数法については
参考URLにも載っている。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K111.pdf

お礼

ありがとうございました．