解をもたない 問題について

質問

aを定数とし，0≦ｘ＜２π、t=sin(x+π/3)とする時、
t^2-(6a-2)t+8a^2-4a=0－(1)が解を持たないようなaの範囲を求めよ

答えは
t^2-(6a-2)t+8a^2-4a=0
（t-2a）（t-4a+2）=0
t=2a,4a-2であり、(1)が解を持たないのはlsin(x+π/3)l >1すなわちltl>1のときである

ゆえに　　　　　　　　　lal>1/2かつl2a-1l>1/2のときであり　　a<-1/2, 3/4<aである

とあったんですが、

t^2-(6a-2)t+8a^2-4a=0の判別式ＤよりＤ＜０
(6a-2)^2-4(8a^2-4a)<0
4(a-1)^2<0
のようになぜ解けないのですか？　詳しくお願いします

回答No.2

ferien · ベストアンサー

補足と訂正です。

>判別式Ｄ＝4(a-1)^2<0　が２乗した式が負になるというあり得ない結果なので、
>判別式は使えないことになります。

について、

判別式Ｄ＝4(a-1)^2≧0なので、－１≦ｔ≦１のときは、解をもつことを表しています。

だから、解を持たないのは、－１≦ｔ≦１とは反対の、｜ｔ｜＞１の範囲のときである、としているのだと思います。

回答No.5

toshih2000

こんにちわ

問題のポイントは
sin 関数は -1～1 の値しかとり得ないことにあると思います。

ですから、式(1) を解いた結果、t がその範囲を超える場合は
t を求めることができても、 x を求めることができない
と言うことです。

蛇足ですが
> 4(a-1)^2<0
この式で a は求まりますか?

回答No.4

mister_moonlight

質問者は誤解してる。
｜t｜≦1という条件がなくて、tが全ての実数値をとるなら質問者の考えでよい。

この場合　解を持たないという事は、次の2通りある。
(1)　実数解自体を持たない場合。その時は、結果的には　｜t｜≦1　は　関係ない。
(2)　実数解は持つが、その解が　｜t｜≦1　にない場合

従って、この方程式は　因数分解ができて　それが実数値なんだから　(1)の場合はない。
よって、考えられるのは(2)の場合しかない、という事。

回答No.3

rnakamra

元の方程式は因数分解できるので当然実数解をもちます。
ですから判別式を使うことに意味はないのです。

この問題では実数解を持つ・持たないではなく、実数解の範囲が-1以上1以下に入るかどうかだけが問題なのです。

回答No.1

ferien

aを定数とし，0≦ｘ＜２π、t=sin(x+π/3)とする時、
t^2-(6a-2)t+8a^2-4a=0－(1)が解を持たないようなaの範囲を求めよ

答えは
t^2-(6a-2)t+8a^2-4a=0
（t-2a）（t-4a+2）=0
t=2a,4a-2であり、(1)が解を持たないのはlsin(x+π/3)l >1すなわちltl>1のときである

ゆえに　　　　　　　　　lal>1/2かつl2a-1l>1/2のときであり　　a<-1/2, 3/4<aである

とあったんですが、

t^2-(6a-2)t+8a^2-4a=0の判別式ＤよりＤ＜０
(6a-2)^2-4(8a^2-4a)<0
>4(a-1)^2<0
>のようになぜ解けないのですか？　詳しくお願いします

判別式Ｄ＝4(a-1)^2<0　が２乗した式が負になるというあり得ない結果なので、
判別式は使えないことになります。

0≦ｘ＜２π、t=sin(x+π/3)とする時　から、
π/3≦ｘ＜２π＋π/3のとき、－１≦sin(x+π/3)≦１　つまり　－１≦t≦１という条件なので、
t^2-(6a-2)t+8a^2-4a=0－(1)は、－１≦t≦１のときは、解をもつかもしれないが、
その範囲以外では解を持たないという意味だと思います。

ltl>1　……（１）　は、ｔ＜－１，１＜ｔと言う意味で、ちょうど－１≦t≦１以外を表しています。

>t=2a,4a-2であり、lal>1/2かつl2a-1l>1/2のときであり　　a<-1/2, 3/4<aである

（１）から、｜２ａ｜＞１、２｜ａ｜＞１、｜ａ｜＞1/2　であり、
この意味は、ａ＜-1/2，1/2＜ａ　……（２）

（１）から、｜４ａ－２｜＞１、２｜２ａ－１｜＞１、｜２ａ－１｜＞１／２
この意味は、２ａ－１＜-1/2，1/2＜２ａ－１、　ａ＜-3/4，3/4＜ａ　……（３）

（２）と（３）の共通部分が、a<-1/2, 3/4<a　だと思います。