数学B 漸化式の問題です。

質問

次の問題の解法を教えてください。出来れば、途中式もお願いします。

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

等差数列、等比数列、階差数列に帰着するのが王道です。

(1)
a[n+1] = 2a[n] - 3^n
の場合は
a[n+1] + α^(n+1) = β(a[n] + α^n)
となるように変形してみるといいでしょう。

a[n+1] + 3^(n+1) = 2(a[n] + 3^n)
とすればいいですね。展開して元の式に戻るか確認しましょう。
b[n] = a[n] + 3^n
とおけば
b[n+1] = 2b[n]
となり等比数列です。

(2)
a[n+1] = a[n]/2 + a/2^n
両辺に2^(n+1)かけると
2^(n+1)a[n+1] = (2^n)a[n] + 2a

b[n] = (2^n)a[n]
とおくと
b[n+1] = b[n] + 2a
は等差数列となります。

お礼

解けました。ありがとうございました＾＾

回答No.2

nag0720

こんなものは、式をいろいろ変形して解くよりも、

a[n]=2a[n-1]-3^(n-1)
2a[n-1]=4a[n-2]-2*3^(n-2)
4a[n-2]=8a[n-3]-4*3^(n-3)
8a[n-3]=16a[n-4]-8*3^(n-4)
・・・・・・・・・・・・・
2^(n-3)*a[3]=2^(n-2)*a[2]-2^(n-3)*3^2
2^(n-2)*a[2]=2^(n-1)*a[1]-2^(n-2)*3^1

として、両辺どうしを全部足せばa[n]が出てきます。

a[n]=2^(n-1)*a[1]-3^(n-1)-2*3^(n-2)-4*3^(n-3)-・・・・-2^(n-3)*3^2-2^(n-2)*3^1
=2^(n-1)-3^(n-1){1+(2/3)+(2/3)^2+・・・・+(2/3)^(n-3)+(2/3)^(n-2)}
=2^(n-1)-3^(n-1){1-(2/3)^(n-1)}/(1-2/3)
=2^(n+1)-3^n

(2)も同様です。

お礼

ありがとうございました。