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漸化式の問題

次の条件式によって定められる数列{an}の一般項を求めよ 解いてほしいのは(5),(6),(7)です ご回答宜しくお願い致します

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回答No.1

問題無い。 条件式がない。 画像がない。 どれでしょうか？

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    よろしくお願いします。 [問題]　次の条件で定められる数列｛Ａn｝の一般項を求めよ。 　Ａ1＝２、Ａn+1＝Ａn／(１＋Ａn)　（ｎ＝１、２、３、……） [解]　条件により　Ａ1＝２／１、Ａ2＝２／３、Ａ3＝２／５、Ａ4＝２／７ 　よって、一般に 　　　　　　　　Ａn＝２／(２ｎ－１)　・・・・・・(1) 　となることが推測される。 　　一般項が(1)である数列｛Ａn｝が、条件を満たすことを示す。 　［１］　(1)でｎ＝１とおくと　　Ａ1＝２ 　［２］　(1)をＡn／(１＋Ａn)に代入すると 　　　　　　Ａn／(１＋Ａn)＝２／(２ｎ－１)÷{１＋２／(２ｎ－１)} 　　　　　　　　　　　　　＝２／(２ｎ－１)÷(２ｎ＋１)／(２ｎ－１) 　　　　　　　　　　　　　＝２／(２ｎ＋１) 　　　　　　　　　　　　　＝２／{２（ｎ＋１）－１} 　　　よって、Ａn+1＝Ａn／(１＋Ａn)　が成り立つ。 　［１］、［２］から、求める一般項は　　Ａn＝２／(２ｎ－１)。 ※このサイトだと項の番号をうまく表記できないので、Ａ1は初項、Ａnは第ｎ項、Ａn+1は第ｎ＋１項などと表しています。 この問題は数列の一般項を推測し、推測した一般項が条件を満たすことを示して、一般項を求めてるみたいなのですが。 ［２］の証明で、どうして(1)が漸化式を満たしてるのか、よく分かりません。どうしてですか？。 また、(1)は推測したものだから、全ての自然数ｎについて(1)が必ず成り立つとは言えないですよね？。なら、(1)を漸化式に代入できないと思うのですが、どうして代入できるのですか？。 以上ですが。分かるかた、教えてくださいm(__)m。

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