漸化式の問題について

質問

下の画像の漸化式の問題についてなのですが、(1)の問題を、a(n)のみの漸化式に直して、特性方程式で解く方法を教えていただきたいです。
分かる方いらっしゃいましたらよろしくお願いします。

回答No.3

oze4hN6x

別の解法も知りたいということでしょうか。
特性方程式を使う方法はNo. 2さんが書かれているので、もう少し違う方法を書いておきます。
http://bit.ly/11EN2Nu

もしかして、今は高校で行列を扱わないんでしたっけ。
でも、せっかくなので載せておきます・・・

回答No.2

spring135

a(n+1)=3a(n)+b(n) (1)

b(n+1)=2a(n)+4b(n) (2)

(1)より

b(n)=a(n+1)-3a(n) ⇒ b(n+1)=a(n+2)-3a(n+1)

b(n),b(n+1)を(2)に代入

a(n+2)-3a(n+1)=2a(n)+4[a(n+1)-3a(n)]=4a(n+1)-10a(n)

a(n+2)-7a(n+1)+10a(n)=0 (3)

これを

a(n+2)-(p+q)a(n+1)+pqa(n)=0 (4)

とおくと

p,qは特性方程式の2根である。

t^2-7t+10=0 ⇒ t=2,5、つまりp=2,q=5 (5)

(4)を２通りに変形する。

1）a(n+2)-pa(n+1)=q[a(n+1)-pa(n)]=[a(2)-pa(1)]q^n (6)

2) a(n+2)-qa(n+1)=p[a(n+1)-qa(n)]=[a(2)-qa(1)]p^n (7)

(6)×q-(7)×pを作ると

(q-p)a(n+2)=[a(2)-pa(1)]q^(n+1)-[a(2)-qa(1)]p^(n+1)

a(n)={[a(2)-pa(1)]q^(n-1)-[a(2)-qa(1)]p^(n-1)}/(q-p)

a(1)=1,b(1)=3よりa(2)=3a(1)+b(1)=6

p=2,q=5を代入して

a(2)-pa(1)=6-2=4

a(2)-qa(1)=6-5=1

a(n)={4*5^(n-1)-2^(n-1)}/3

回答No.1

Tacosan

単に b(n) を消去すればいい. 3項漸化式になるね.