漸化式の問題について

質問

漸化式をやっているのですが、
特性方程式がよくわかりません。
初項３、aｎ＋1＝3aｎ－2は
aｎ＋1－1＝3（an－1）となると思うのですが、
ここから先がよくわかりません。

皆様よろしくお願いしますm（＿）m

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

項をa[n]とかって書きますね。

えっと、特性方程式はちゃんとわかってるじゃないですか。
つまり、a[n+1]=3*a[n]-2 を、(a[n+1]-1) = 3*(a[n]-1) に変形できてるんですよね。（この式変形をするのが、特性方程式の使い道です）

あとは、ちょっとだるい書き方をすれば、b[n]=a[n]-1と置き換えると、
b[n+1]=3*b[n]となっているので、b[n]が（すなわち(a[n]-1)が）等比数列であることが言えてるんです！

ここが掴めてればOKなのですが・・・

お礼

どうもありがとうございます。
特性方程式というのは変形するまでのものなのですね。

b[n]=a[n]-1、b[n＋1]=a[n+1]-1とおくのですね。
ここまで、掴めていませんでした・・。
-1というのがくっついていたので、a[n]のnとb[n]のnを連動させてはダメだろうと考えていて、わかりませんでした。

なんとかなりそうです。
ありがとうございました！

回答No.3

oshiete_goo

#1さんのアドバイスがあるので蛇足かも知れませんが．
新しい数列{b[n]}をb[n]=a[n]-1で定義すると，
b[n+1]=3b[n]　より，
初項b[1]=a[1]-1=2,　公比3の等比数列ですね．

なお，慣れてきたら，置き換えずに　”a[n]-1”を一つのものと見て
数列{a[n]-1}　は　初項a[1]-1=2,　公比3の等比数列で．．．とよくやります．

以下は一般項(第n項)を求めて，a[n]＝の形に直せばOKですね．

お礼

どうもありがとうございます。
置き換えずにやると時間短縮できますね。
でも何問かは忘れないように置き換えてやってみようと思います。
ありがとうございました！

回答No.2

tiezo-

途中からですが
漸化式a(n+1)-1=3[a(n)-1]を
数列{a(n)-1}が、初項a(1)-1=２,公比３の等比数列だと考えます
するとa(n)-1=2*3^(n-1)
よってa(n)=2*3^(n-1)+1となります
特性方程式は、漸化式を等比数列化するための値を求める式です。

お礼

参考になりました。
どうもありがとうございます。
やっとわかりました（^^）