円筒同士のつなぎ部分の型紙を描きたい

質問

図のように直径がaとbの円筒があります。
具体的には煙突のようなものです。
やや太いaの煙突に、それよりは細い煙突が入っていくような形で連結させたいのですが、
そのために、aの側面に、穴をあけるわけですが、穴を空ける為の線を正確に描くのは曲面ですので、難しいです。
それで、この穴の部分の型紙を作りたいのですが、難しい関数を使えば、この平面にすれば、楕円のような形を描けるのでしょうか?
実際には、エクセルを使って描けるのなら、描いてプリントアウトできれば、と思います。
(描けるのであれば、具体的な操作方法をお教えください、私はその関係の機能はぜんぜん知識がありません。)
他にはjww ＣＡＤも持っております。

とりあえず、a と b と仮定しました。具体的寸法はまだ決まっていません。
汎用的に、型紙を描ける方法がわかれば、ありがたいのですが・・・。
仮の数値としては、a は120ｍｍ、b は100ｍｍ、といったところです。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.3

noname#152422 · ベストアンサー

念のためですが、

1番の回答のように(x,y)座標をとると、Aの軸方向の高さがHならば、展開したときの長方形の部分は{(x,y);-πa/2≦x≦πa/2,-H/2≦y≦H/2}となります。型紙の一番外側の枠です。x軸の方向に丸めると円筒Aになります。

その中で穴のふちの部分の上半分は

{(x,y);y=(1/2)√[(b^2)-(a^2){(sin(2x/a))^2}],-(a/2)arccsin(b/a)≦x≦(a/2)arcsin(b/a)}

下半分は

{(x,y);y=-(1/2)√[(b^2)-(a^2){(sin(2x/a))^2}],-(a/2)arccsin(b/a)≦x≦(a/2)arcsin(b/a)}

です。

楕円に似てますが少し違います。

お礼

ありがとうございます。
楕円に似ているがが少し違う、というのは素人の私にも想像できたことでした(^o^)
円筒が平面に対して斜めに入っていく場合なら、楕円になるのですよね。
以前、別の工作の時、ここで教えて頂いたことがあります。
さて、この難しい関数・・・実際にパソコンで描くことができるのでしょうか?
例えば、太い筒がφ120、細い筒がφ100だとすれば・・・。

親切にいろいろと教えて下さいまして、ありがとうございます。
具体的に描くところまでたどり着けましたら、大変ありがたいです。

回答No.2

noname#152422

1番です。

直径aの円筒部分をA、直径bの円筒部分をBと呼ぶことにします。

ξηζ座標を想定して、Aの軸がζ軸に一致し、Bの軸がξ軸に一致するように配置すると、

Aの表面上の点は、

ξ^2+η^2=(a/2)^2

を満たします。また、Bの表面上の点は

η^2+ζ^2=(b/2)^2

を満たします。

ここで、Aの表面上の点を極座標で書き換えると、

ξ=(a/2)cosθ、η=(a/2)sinθ、-π≦θ≦π

となります。

※θ=0のとき丁度y座標が0になるようにθを取ったことに注意。

Bの円筒面上の点が満たす方程式にこれを代入すると、

(a/2)(sinθ)^2+ζ^2=(b/2)^2

変形して、

ζ^2=(1/4)[(b^2)-(a^2)(sinθ)^2]

となります。

ここで、角度0に相当する点(a,0,ζ)と角度θに相当する点(ξ,η,ζ)へ向かう弧の長さをxとすると、x=(a/2)θとなるので結局、

ζ^2=(1/4)[(b^2)-(a^2)(sin(2x/a))^2]

となります。ここでなぜ弧の長さを考えるかというと、これがAを平面に展開してまっ平らにしたときの長さになるからです。

さて、ξη平面（ζ=0）で両円筒面を切断すると、その切断面上でAとBとは2点で交わります。どちらでも同じなので一方の点をCと呼ぶことにし、Aの軸とその切断面との交点をDと呼び、線分CDとBの軸との角度をαとし、その切断面上でBによって切り取られたAの弧の長さをlと呼ぶと、以下の関係が成り立ちます。

2*(a/2)sinα=b、L=(a/2)*2α

αを消去すると、L=a*arcsin(b/a)となります。このlはAの軸をタテにおいて、水平方向に展開したとき、Bによる穴の最大幅になります。

このことから

-(a/2)arccsin(b/a)≦x≦(a/2)arcsin(b/a)

がわかります。

あとは、ζをｙという文字で置き換えれば1番の式が得られます。

お礼

ありがとうございました。
この図に似たイラストは、私も描いたものでした。(^o^)
楕円(状)の形はとても計算できませんが、せめて長径はいくらだろうか?と考えた時のイラストでした。エクセルを使い、弧の距離を割り出そうとしたのです。
atan?(だったかな)を使い、角度を出すところまでは行ったんですが、ラジアンだそうで、どうしても普通の角度に直すことが出来ず、挫折しました(~_~;)
三次元に関わるこの不定円を表現するのは、このようなむずかしい式になるのですね。
高校時代、数学IIが解りかねた私には、チンプンカンプンですが、むつかしいことがよく分かりました。

回答No.1

noname#152422

直径aの円筒のタテ方向をy、横方向をxとし、(x,y)=(0,0)を直径bの円筒の中心が通るように重ねるとすると、以下のような関係になります。

(1) y^2=[(b^2)-(a^2){(sin(2x/a))^2}]/4

ただし、-(a/2)arccsin(b/a)≦x≦(a/2)arcsin(b/a)

(1)の正の平方根を取ったときのグラフを添付しました。

もし(1)の導き方が必要なら補足に書いてください。

補足

ありがうとございます。
無論、実際に型紙を作るのが目的なので・・・・
どうしたら、型紙の絵が描けるか、よろしくお願います。
、