力学（遠心力がきちんと理解できない・・・）

質問

問題で、滑らかな局面とそれに続く半径ｒの半円筒面がある。高さｈ（＞ｒ）の位置で質量ｍの小球Ｐを放す。Ｐが点Ａ（半円筒の最下点）で円筒面に入った直後受ける垂直抗力をＮａ、点Ｂ（半円筒の中心を通る地面と水平な面・・・えんの半径rの高さ）で受ける垂直抗力Ｎｂを求めよ

（図）→曲線の斜面にボールを置いて＼＿⊃←円筒に入る。

こういう問題です。
Ｎａっていうのは曲面から円筒に入る瞬間で、
まず力学的Ｅ保存則よりｍｇｈ＝1/2　ｍｖ
で速さは√２ｇｈと出ました。
あとは、円筒だから垂直抗力は重力と遠心力に等しいということでＮａ＝ｍｇ＋ｍ×ｖ^2/r
となってＮａが求まります

機械的に円筒だから遠心力が発生して・・・って立式ましたけど、円筒に入って間もないのに遠心力はなぜ働いてるのですか？

だって斜面を下ってる玉の力を考えるときは、mgcosθと、斜面の垂直抗力としては重力の影響しかありませんよね？

ってことは、曲面を下り降りて、円筒に入っていくボールは遠心力なんて受けてないんじゃないですか？
円筒を回っているのではなくこれから入るのですから。
でも、この問題は斜面は直線じゃなくて曲面なんですよね。
曲面＝遠心力が働く　ってことですか？

でも、曲面っていうあいまいな表現だから緩やかな曲面も直線に近いのもありってことですよね？
っていうことは力学的Ｅ保存則の観点からみると、摩擦とか無い限り斜面の形っていうのは影響はないから速度は一定ですよね？斜面がどんな形であろうが。
ていうことは最下点に達したときの速度は一定。
速度が一定なんだから遠心力の大きさも変わったら変ですよね？まぁ、鉛直成分だから水平成分の速さには影響は無いと思いますが・・・。

ということは直線に近い曲線とでも、急カーブの曲線でも遠心力は同じということですか？
でもカーブがきつい方が、遠心力が強い気がします（感覚的に）

回答No.5

ht1914 · ベストアンサー

大学受験の高校生でしょうね。入試問題のレベルではよくある問題です。
混乱は遠心力にあります。教科書では遠心力は本文中には出てこないだろうと思います。出てくるのは向心力です。遠心力は回転している物体の上に観測者がいる立場ですから回転運動を外から眺めている場面では使いません。遠心力には加速度のイメージがありません。回転運動を釣合の力で解釈しようという立場だからです。数字的には同じになりますが力を考える立場に違いがあります。円運動は絶えず向きが変わっている運動ですから加速度が存在します。速さが変化していなくても加速度は存在します。それが円の中心を向いているので向心加速度といいます。その大きさはｖ＾２／ｒです。運動方程式は「中心向きの力＝質量×向心加速度」となります。
加速度は瞬間量ですから円の一部に入った途端に加速度が生じます。＃３の方が「曲率が変わると力が変わる」といっておられるのと同じです。道路などで急に曲率が変わると危ないというのもこれが理由です。
Ａ点では「中心向きの力＝ＮＡ－ｍｇ」です。Ｂ点では「中心向きの力＝ＮＢ」です。
この問題はさらに発展します。例えばｈ＝２ｒの時、何処で円筒から離れるかという問題、円筒の上端から水平に飛び出すために必要なｈの値はいくらかという問題、等です。どちらもｈ＝２ｒの時には円筒の上端に行く前に円筒の壁から離れてしまうということを踏まえています。わかりますか。

お礼

なるほど、アリガトウございました。
道路とかも曲率ってもので計算されてたんですね。いろんなところに物理や数学などが使われているもんですね。
車が遠心力に耐えるのは、タイヤの摩擦力ですよね？
それって静止摩擦力というものでしょうか？
車は動いているけど、実際向心力は一定の加速度だし、円の中心との距離は変わっていないので、静止しているという風に考えられるでしょうか？
そして、その静止摩擦力よりも遠心力が上回ったら、転倒とかドリフトをするってことでしょうね。

☆そういわれると不思議ですね。一見力学的エネルギーとかだと、外力が働かない限り、エネルギーは保存される。一見これも２ｈから転がせば、２ｈまであがりそう・・・。けどその前に軌道から離れる・・・。
あ、けどエネルギーは保存される？なら、２ｈまで行かずに玉が曲面からはなれても、その玉が空中に浮いている間の最高点は２ｈまでいくのでしょうか？
それから落下するってことですかね。
曲面から離れるのは円の、第４象限から第１象限？（表現が分かりませんが、水平から逆さになるところ）に玉がくると、重力が曲面から玉を引き剥がす役割に変わるからということで、玉がはがれるときは絶対に曲面が、宙返りのジェットコースターでいうと人が逆さになりだすところ以降にはがれるってことですよね。
計算はできると思います。はがれる＝垂直抗力０ということを思い出して半径方向のつりあいの式を。
そしてエネルギー保存から式を立てれます。
角度は分からないからθと置いて、sinθを求めればいいんですよね。
すみません長くなってしまいました。
ところで回答者さんのいうとおり高校生です。ちなみに高３で受験生です。周りから見ると、無理だよ・・・っていわれそうな状況なんですが（物理は偏差値40台前半をうろちょろ・・・）まぁ幸い英語だけは何とかなってるんですけど・・・。ここ1週間くらい、物理を集中的にやってみたら、意外と理解できるようになり、力学なんて全然わからなかったのに、少しこうやって質問とか話ができるくらいまでは理解できるようになってきました。ある程度分かってくるとそんなに苦痛でもないというかむしろ少し楽しくなってきますね。これからあと180日がんばりたいと思います。
こうやって皆さんが回答してくれて理解も深まりとても感謝してます・・・。

補足

すみません、お礼のところに書かせていただいたのですが、２ｈから転がしたとき、２ｈまであがるまえに曲面からボールが剥がれ落ち、その高さは出せました。
その後、ボールは空中で２ｈ（同じ高さ）に戻ってくるか？ということなのですが、力学的エネルギーからして、摩擦は無いから、遠心力が働いたとしても力学的エネルギーは保存される？つまり２ｈ（同じ高さ）までボールは戻ってくる、という考えなのですが、いいでしょうか？　ht1914さん、またはこれを見たかたで分かる方は、回答できればお願いします。

回答No.10

ht1914

＃９です。
１．上端での話、あまり難しく考えない方がいいですよ。端で微分係数が決まらない、接線が何本も引けてしまうというのは一点だけで考えているからはまってしまう落とし穴です。運動は下から継続してきているのです。接線が何本でも引けるということは飛び出す方向が定まらないということになります。そんなことはないでしょう。接線は一本です。数学的に言うと不連続点での微分です。この場合不連続点の両側で微分係数が異なります。曲線の方からの微分係数をとります。空間側からの微分係数は定まりません。この時物体の運動が下から継続しているということでどちらの領域の微分係数が意味を持つかが変わるのです。おもりに糸をつけて円運動をさせているとします。糸を切ると切った後の運動は切ったときの接線の方向になります。これも同じです。

２．遠心力で考えているとややこしくなる例を挙げておきます。
遠心力はｍｖ２／ｒですね。これは向心加速度ｖ２／ｒに質量をかけた量になっています。物体の運動の向きを中心に向かって曲げるためには力が必要です。この力がなければ物体は直線で運動してしまいます。この力を向心力と言っています。速度の向きは絶えず変わります。力の向きといつも垂直になっています。一緒に運動している人は物体が静止していると考えるわけですからこの力と釣り合う力を考えます。それを遠心力といいます。では楕円運動の場合はどうでしょう。
今惑星が話題になっています。惑星は太陽を焦点のひとつとする楕円運動です。楕円運動では力の方向と運動の方向とが垂直ではありません。向心加速度の表現はｖ２／ｒを含む別のものに変わります。この時、遠心力とは何になるでしょうか。困ります。やはりｍｖ２／ｒでしょうか、それとも中心力に釣り合う力でしょうか。

「中心力が働いていて楕円運動しているとき、力は１／ｒ２に比例する引力である」というのは運動方程式を使って求めることが出来ます。（これは「万有引力が働いていると楕円になる」ということを導くよりも楽です。）
でもこれはもう遠心力という表現に引っかかっているとむりでしょう。遠心力を考える立場では運動方程式を正面から考えていないのですから。

お礼

なるほど、色々ありがとうございました！！
遠心力についてもごっちゃにしちゃいけない理由もわかりました。
これで締め切らせていただきます！また、見かけたときはアドバイスよろしくお願いしますm(＿ ＿ )m

補足

どうやら、同じ人に2つポイント差し上げられないようなので、20ポイントしか無理でした（汗

回答No.9

ht1914

＃５、６、７、８です。
計算は合っています。自分でいろいろ発展させてみて下さい。
２つの点だけについて書いておきます。

１．円筒の上端から飛び出す条件で「ｈ＞５ｒ／２」と求まっています。これは「ｈ＝５ｒ／２」でも成り立つのですがわかりますか。「＞」のはずの所を＝でやったと気にされていますが「＝」でも成り立つので気にしなくてもいいのです。
２．まだ言葉が混乱しています。遠心力、向心力を混ぜて使ったらいけません。後々のこともありますから遠心力を一切使わずに向心力一本で表現してみて下さい。あくまでも物体の運動を外から見て記述しようとしているのです。加速度運動では「原因となった力とその結果としての加速度」という対応関係をいつも意識していないと解けません。運動方程式で考えるときの基本です。「遠心力」は加速度を考えることを避けて、無理に静止系で考えようとしているものです。そこで釣合に持ち込むために新たに力を考えます。当然そこでは運動方程式が出てきません。加速度運動なのに、運動方程式を使わないのです。
他にもこの様な考え方がありますので１つ例を示しておきます。電車のつり革は等速度で動いているときは真下に垂れていますが加速したときは後ろに、減速したときは前に振れます。糸におもりをぶら下げたものでも同じですのでこれで考えます。運動方程式で考えるときは「おもりに働く重力と糸の張力が進行方向の加速度の原因だ」と考えます。電車の加速度が一定になると振れの角度が一定になります。おもりは電車と同じ加速度で動いています。この時、「重力と張力の合力＝おもりの質量×加速度」になります。一方電車の中の人から見た運動は「おもりが斜めになって止まっている」ということになります。静止ですから釣合が成り立っています。おもりにもう一つ力が働いているとします。重力と張力の合力を打ち消す力です。この力がないと釣り合いません。外から見たら加速度運動ですが一緒に運動しているとから見たら静止であるという読み替えが入っています。加速度運動はもっと複雑なものがいくらでもありませからそれに全部こういう事で対応することは出来なくなるでしょう。出来たとしても、もの凄くややこしいものになるでしょう。
そういう事もあって何時も観測者は物体の運動を外から見ているという表現一本にして置いた方がいいということです。遠心力は物体と一緒に円運動している人から見たときに出てくる表現です。

お礼

ホントすみません。こちらにつなげなかったもんで、3日間ほど返事おくれてしまいました。
上端から飛び出す問題。これはなぜ、「＞」のように考えたかというと、上端に達したときに垂直抗力がなかったらもう既に上端に達する前にボールが離れてしまっているのではないかという判断からです。
けど、「＝」がなりたつのですね。自分の中で、＞か＝か、はどちらでもよさそうだなって感じであいまいだったので、こちらにも理由がつけられます。
理由というか、イメージですが、たとえば、数学で言うと閉区間で微分が可能なのは、その中の開区間であり、一番端は微分可能で無いですよね、接線を引くならばいくつも引けてしまうだろうし。
そういうイメージで、上端から飛び出す、の「上端」はこの閉区間の一番端、の点にあたり、開区間までボールがくっついていれば上端からボールが出たとみなせる、という考えでいいでしょうか？
この一番端は、曲面でなく、さっきの関数の点のようになってしまっている、だからその点の直前まで接地してればいい。つまり「＝」にすればその「一番端の点」に来てようやく垂直抗力０になるわけで、その直前までは垂直抗力が発生していた＝曲面に接地していた＝上端からボールが飛び出た。
という風な感じ、（イメージですけど）で考えてみました。
イメージで考えてみましたけど、ひょっとしたら物理もこれに近いのかも、って思いました。というのは、一番端の点は接線が何本も引けるから、微分可能でないのなら、物理の向心力は曲面の（接線に垂直）法線なわけですから、法線が引けなかったら向心力もどのように働いているか力の図がかけないじゃないか！だから一番端の点では垂直抗力０でもいい。とかんがえてみました。
最後、ここの矛盾だけ取り除いたら今度こそ回答を締め切らせていただきたいと思います。
何度もしつこくて申し訳ないです。ありがとうございました。

補足

あ、お礼のところに書いてしまいましたが、先ほどの上端のやつは補足ということでお願いします。
あと、遠心力については、向心力とごっちゃにしないようにします、ありがとうございます。

回答No.8

ht1914

＃６です。ちょっと計算間違いをしていました。半角の式は必要ないみたいです。

お礼

何回もアドバイスありがとうございました。
最後に問題について、間違っていることがあるかもしれないので、締め切らずに待たせてもらいます。
特に問題はなくても、締め切るかどうかの判断のために、もう1度回答をいただければ幸いです(＾＾
100ポイント分くらいのお礼がしたいですが、MAX20なのが残念です・・・。しかも他の方にもポイントを与えられなかったりと・・・　ポイントを誰に与えればいいのかとか優劣をつけたりするのがいつも困っています。
あと締め切っている途中に回答してもらっているという場合も考えられるし、締め切るタイミングも困るんですよね・・・。　追加回答とかポイントを増やしたりとできるようにしてほしいですね。

回答No.7

ht1914

＃５，＃６です。
お礼の中のタイヤの摩擦についてです。
自動車は動いているのですがカーブで必要な向心力を出すときの力は静止摩擦力と考えて良いと思います。それは自動車の運動方向ではなくタイヤの横滑りを防いでいる力だからです。
進行方向でも静止摩擦力です。タイヤと路面との間でスベリがなければ静止摩擦なんです。動摩擦は滑っているときに問題になります。円形のものが滑らずに転がっていくときでもやはりエネルギーのロスがあります。僅かなズレや変形によって生じます。具体的な中身がはっきりしませんので何もかもツッコミで転がり摩擦というときもあります。

お礼

なるほど！また勘違いしていました。
向心力のときの力は静止摩擦力かなと思っていたのですが、進行方向のも静止摩擦力なんですね！
てっきり動いているものだからどう摩擦力だと思ってしまいました。
つまり、静止摩擦力は滑ってない　動摩擦力＝滑っているとき　ということですね！
そして、タイヤの回転がブレーキで完全にロックされて、スリップしているようなときには動摩擦力が働いていると考えればいいわけですね。そして横滑りがなければ静止摩擦力というわけですね。
実際は他の要素も絡んでいると思いますけどね・・・。
まぁ、大学での物理はどうなのか分かりませんが、物理学は理論上のことですよね、実際摩擦がまったく生じない面などは存在しないわけですし。

回答No.6

ht1914

＃５です。

抗力が０となる点で円筒の壁から離れるということがわかっているのですから後一歩です。でもエネルギーで早とちりをしています。

ｈ＝２ｒの時
壁から離れた後の運動を想像してみて下さい。離れた地点から始まる放物運動になります。方向は接線の方向です。斜め上に投げ出された放物運動ですから最高点では横向きに動いています。最高点で運動エネルギーを持っていますからｍｇｈからそのエネルギーだけ小さい位置エネルギーの高さまでしか上がりません。離れる点はまずθの条件式で求めて下さい。（θを含む条件式が得られたらθ／２を含む条件式に変換して下さい。半角の式です。結果の式が簡単になります。）

円筒の上端を飛び出すためには
上端で接触条件を満たさないといけません。飛び出すときは横向きの速度を持っていますからエネルギーは上端の位置エネルギーにこの運動エネルギーを足したものです。これではじめの高さはわかります。これをヒントにして解いてみて下さい。

お礼

ありがとうございました。
そうですね！勘違いしていました。
最高点といったら・・・　速度０！
とか思い込んでいました。それは鉛直での話ですよね？水平方向には速度ついてますもんね。ってことはもとの位置よりも低くなる。　納得できました、ありがとうございます。

補足

ｈ＝２ｒのときの問題
mgsinθ＝遠心力　mg2r=運動E+mg(r+rsinθ）
と出て、はじめの式のv^2を後に代入してあげると
sinθの含まれた式になるので、変形してsinθ＝2/3と出ました。2/3の3は半径rに当たるから、高さは2r/3
そして、円の下半分を足してあげるから、2r/3 +r＝5r/3…答え。

円筒の上端を飛び出す問題。
円筒の上端での力は遠心力と重力がつりあっていたら、垂直抗力は発生しない＝玉が曲面に接地してない　ので、それよりもほんのわずか遠心力が強い必要があるから、mg＝遠心力と出て、そのときの速さをvとすると、v^2>gr　と出る。
☆不等式じゃやり方がわからないから・・・　一応v^2=grとして、mghがそれより大きければいいと考えることにする。☆

力学的エネルギーは保存されるから、mgh>1/2 mv^2+2mgr　そして、v^2にgrを代入して整理。
h>5r/2　・・・答え。

答えを出すことができました！できれば確認をお願いします。また、解答の手順や式の書き方も辺だったら指摘をお願いします。（特に2個目の問題は不等式だったので勝手に＝で書いちゃったり、数学的にまずいところがあるかもしれないので・・・）

物理って面白いですね、というか、つい最近まで全然分からなかったのに結構分かるようになって少し頭がよくなった気分です（汗　・・・うぬぼれてるな。受験を考えればまだまだ甘い。謙虚にならないと・・・。けど自分的に勉強する意欲は高まるしいいかなと思ってます（＾＾;

あと問題を発展させてくれてすごく助かりました!!
あのまま終わっていたら、たぶんボールの最高到達高度についての理解も勘違いしたままだったと思います。水平成分を忘れてました・・・。長く付き合ってもらってホント助かります。感謝してます・・・。

回答No.4

water-cooled

これは"滑らかな局面"というのが曲者で、
＼＿⊃
こういうのはだめということなんじゃないかと思います。
入った瞬間にon,offということにならないようななめらかな曲線。
多分二回微分が連続するような曲線だと言いたいのだと思います。

お礼

そうですか、あの図じゃいきなり遠心力がかかっちゃいますもんね（笑
そういうときはやっぱりＮ＝ｍｇなんでしょうか・・・？
いきなりかかっちゃうと数学でいうガウス記号のグラフ？棒線のグラフ、みたいのになっちゃって、ちょうど変化するときは遠心力がかかるのか、かからないのか、と微妙になってしまうってことですよね。
特に物理学では数学でいう、○●（閉区間、開区間とかをあらわすポッチ）の区別はあまり明確につけてませんよね。　こうなると問題的に解答不能でしょうかね・・・。
回答ありがとうございました！微分でやるのはまだやり方知らないので・・・　そのうちやりたいと思います。
大学入ってからかな・・・。

回答No.3

SortaNerd

恐らく質問者さまの疑問は「平面と曲面は連続しているので急に遠心力が働き出すのは変だ」ということかと思います。
でもそれが真実です。平面から曲面に変わる境目で、遠心力が0からmv^2/rへと急激に変化します。
ですから、平面と曲面が滑らかにつながっているように見えて、実はそこには一種の不連続点があるのです。ここでは曲率が不連続になっています。

例えば、直線の先に円の一部をつないだ道路があるとします。この道路を車で通るのは非常に困難です。なぜならカーブに入った瞬間にハンドルを一定の角度まで回して、出た瞬間にまた元に戻さなければならないからです。実際に車が通ればハンドルを回す時間で外へ膨らんでしまいます。
これを避けるため実際の道路では曲率がだんだんと変わるような設計をしています。

お礼

なるほど、そうなんですかー。
確かに、カーブに入った瞬間にハンドルを一気にっていうのは無理ですよね。うまく軌道からあまりずれずできたとしても一気に遠心力がかかって、車が横に倒れそうですね・・・。
遠心力は式を見るとvが入っているし、スピードも関係しますよね。あの電車の脱線事故も遠心力によるものだったのですかね・・・。
スピードを増せばいくらでも遠心力は増えますし。

回答No.2

water-cooled

Ｎａ＝ｍｇ＋ｍ×ｖ^2/r
というのは正答なのですか？
Ｎａ＝ｍｇ
ではないのですか。

お礼

そうですよ・・・（汗
Ｎａ＝ｍｇだったら垂直抗力として遠心力が含まれてないことになりますよね
垂直抗力Ｎａに重力以外に遠心力が含まれているので、円軌道に入ったらその瞬間でも遠心力が発生するのかな、と質問させていただきました。

回答No.1

elmclose

図がわからないので一部想像で書きますが、問題が「円筒面に入った直後」となっていますから、円筒に入っていると考えて解かせるのが題意だと思われます。

たとえ入って間もなくても、そこは平面ではなくて曲面（円筒面）ですから、円の中心方向に向けて作用する力が、その小球Pに働いているはずです。

お礼

アリガトウございました。
なるほど、円筒に入っているということはやはり、遠心力・・・向心力？　が働いているのですね
（遠心力が作用で、向心力が反作用としての垂直抗力の一部のような感じでしょうか？？）

入った直後でも遠心力が働くということは、
まっすぐ（水平）に転がってきたボールが円筒状の曲面にはいるときと、急カーブや、斜面などから円筒状の曲面に入るときとは（曲面は同じ半径の円筒として）、スピードが同じなら同じ分だけ遠心力が働くことになるという考えでいいんでしょうかね・・・。