双曲線について

質問

x^2/a^2-y^2/b^2=1
焦点の座標を(c,0)(-c,0)
漸近線；y=+-bx/a
だとします。

c=√(a^2+b^2)となるのは何故でしょうか？
手元にはグラフがあるのですが、これが導けません・・。

よろしくお願い致します。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

stripeさん、こんにちは。

双曲線
x^2/a^2 -y^2/b^2=1
焦点をF(c,0) F'(-c,0) C>0
とすると、
＞c=√(a^2+b^2)となるのは何故でしょうか？

ですが、双曲線の定義から
双曲線上の点P(x,y)をとると

|PF-PF'|=2a
となっていますよね。
これに、座標を代入して
√{(x-c)^2+y^2}-√{(x+c)^2+y^2}=±2a
√{(x-c)^2+y^2}=±2a+√{(x+c)^2+y^2}
両辺２乗して
(x-c)^2+y^2=4a^2+(x+c)^2+y^2±4a√{(x+c)^2+y^2}
-4xc-4a^2=±√{x+c)^2+y^2}
両辺を－４で割ってからまた２乗して
(xc+a^2)^2=a^2{(x+c)^2+y^2}
x^2c^2+2xca^2+a^4=a^2(x^2+2xc+c^2+y^2)
x^2c^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2
x^2(c^2-a^2)-y^2a^2=-a^4+a^2c^2
x^2(c^2-a-2)-y^2a^2=a^2(c^2-a-2)

c^2-a-2≠0,a^2≠0のとき
a^2(c^2-a-2)で両辺割って
x^2/a^2=y^2/(c^2-a-2)=1
とできるので、c^2-a-2=b-2つまりc^2=a^2+b^2
c=±√(a^2+b^2)

また、c>0と最初においたのでc=√(a^2+b^2)
となるのだと思います。
ご参考になればうれしいです。頑張ってください。

参考URL：

http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/print/niji/node15.html

お礼

ごかいとうありがとうございました！

双曲線の定義も違ってました(＾＾；
ごめんなさい

詳しい計算をしていただいて、よくわかりました。
アドバイス参考にさせていただきます。