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2次曲線:楕円・双曲線・・・

焦点が(c,0)、(-c,0)、長軸の長さ2a、短軸の長さ2bの楕円の方程式は、 [ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 ] ただし、b=√(a^2-c^2) 焦点が(c,0)、(-c,0)、主軸の長さ2aの双曲線の方程式は、 [ x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 ] ただし、b=√(c^2-a^2) とあるのですが、この両公式の「ただし、」の部分がいまいち理解できません。グラフを書いていたりすると、あぁそうかな?ってかんじであいまいなのです。利用はできても意味がわからない。これではいけないとおもい、質問しました。 また、この式はどのように覚える、りかいするのでしょうか?

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「焦点が(c,0)、(-c,0)、長軸の長さ2a、短軸の長さ2bの楕円」と仰っても、a,b,cを全部好きなように選ぶわけには行かないんです。 楕円の場合、楕円上のどの点でもよいから一つ選んでpとします。pから二つの焦点までの距離をそれぞれs,tとすると、s+tがpの選び方によらず一定である。そういう性質があるのはご存じでしょうか。 焦点が(c,0), (-c,0)、長軸の長さ2aの楕円において、楕円の長軸と楕円とが交わる点をpとすれば、pの座標は(a,0)または(-a,0)ってことになります。すると上記のs,tは、a+c, a-cとなり、ゆえにs+t=2aであることが分かります。 次に、楕円の短軸と楕円とが交わる点をpとすれば、短軸の長さを2bとすると、(図を描けばわかるように) s^2=t^2=b^2+c^2 です。しかも s+t=2a なんだから、 s=t=a である。ゆえに a^2=b^2+c^2 という関係にある。 かくて、cとaを決めたければbは b=√(a^2-c^2) に決まってしまうし、aとbを決めたければ c=√(a^2-b^2) に決まってしまうし、bとcを決めたければ a=√(b^2+c^2) に決まってしまう。a,b,cを全部好きなように選ぶわけには行かず、2つを決めたら残りのひとつは決まってしまうのです。 さて双曲線の場合は、双曲線上のどの点でもよいから一つ選んでpとします。pから二つの焦点までの距離をそれぞれs,tとすると、|s-t|がpの選び方によらず一定である。あとの理屈は楕円の場合と同じです。 ま、頻繁に使うのでなければ憶えるほどのもんじゃないと思うな。

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