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双曲線について

楕円の場合、短軸b点と焦点Fと原点Oを囲む三角形ができるので三平方の定理が楕円と関係していることがわかりb=√a^2-c^2という式が使えるんだなぁというのはわかりますが、 双曲線の標準形を導き出すときも、b=√c^2-a^2というのを|PF-PF'|=2aに代入してときますが、双曲線と三平方の定理が関係してるからb=√c^2-a^2が使えるのでしょうか?それとも式を綺麗にまとめる為だけにb=√c^2-a^2をつかってるだけなのでしょうか?

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  • 回答No.1
  • take008
  • ベストアンサー率46% (58/126)

双曲線の場合,焦点Fから漸近線に垂線を引いて交点をHとすると,OH=a,斜辺がOF=cの直角三角形になります。 ゆえに FH=b,tan∠HOP=b/a となり,漸近線の傾きが b/a とわかります。 楕円のbが短軸というのは直接目に見えますが,双曲線のbは,b/aが漸近線の傾きで間接的に見えます。 楕円の場合,Pのx座標が0のとき,PF=PF'=aですが, 双曲線の場合 x→∞ のときを考えると,OH=a がわかります。

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