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双曲線の式

双曲線の標準形は,x^2/a^2-y^2/b^2=1ですが, 式y=ax/(b+x)も双曲線と聞きました。 これは,標準形からどのように導けばよいのでしょうか? また,どのような特徴(標準形でいう,長軸や焦点)があるのでしょうか? よろしくお願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.2

>標準形からどのように導けばよいのでしょうか? >式y=ax/(b+x) を変形しますと、   y-a=-ab/(x+b)  ・・・・・☆ となりますので、漸近線がx=-b、y=aで中心が(a、-b)の直交双曲線であることが分かります。  したがって、標準形から導くときは、直交双曲線の標準形から   X^2/A^2-Y^2/A^2=1  ⇔X^2-Y^2=A^2   ・・・・・・・・・(A) から、原点を中心に-45°回転させてから、   X'=Xcos45°-Ysin45° =(X-Y)/√2   Y'=Xsin45°+Ycos45° =(X+Y)/√2 これをさらに、中心が (a,-b) となるように、x軸方向に+a、y軸方向に-b平行移動させると、   x=X'-a, y=Y'+b 求める放物線の形(式☆)が得られることと思います。  試しに計算してみてください。 >どのような特徴(標準形でいう,長軸や焦点)があるのでしょうか?  双曲線の場合には主軸はありますが、長軸はありません。(長軸・短軸があるのは楕円の場合です。)  式y=ax/(b+x)で、a,b>0 であれば、グラフはxy平面の右下と左上にしかありませんので、y=-x+C という直線上に主軸があることが分かることでしょう。(標準形への式変形で確認してみてください。)  また、焦点は双曲線の場合もあります。  直角双曲線の標準形(式(A))で、焦点は(A,0),(-A,0)にありますので、標準形への式変形でAが何に対応するか(Aをaとbだけで表す)が分かれば、その焦点の座標を、今度は逆に、x軸方向に-a、y軸方向に+b平行移動させた後、原点を中心に+45°回転されたところに、y=ax/(b+x) の焦点があることが分かることと思います。(計算で確認してみてください。)

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質問者からのお礼

有難うございます。 座標変換がポイントだとは気づきませんでした。 1ヶ所わからないのは,「標準形(式(A))で、焦点は(A,0),(-A,0)」 というところです。 双曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1の焦点は,((a^2+b^2)^0.5,0),(-(a^2+b^2)^0.5,0) ですから,((2A^2)^0.5,0),(-(2A^2)^0.5,0)ではないでしょうか? 何か私の勘違いしていますでしょうか? よろしくお願いします。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

 #2です。  お礼をありがとうございます。 >1ヶ所わからないのは,「標準形(式(A))で、焦点は(A,0),(-A,0)」 >というところです。 >双曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1の焦点は,((a^2+b^2)^0.5,0),(-(>a^2+b^2)^0.5,0) >ですから,((2A^2)^0.5,0),(-(2A^2)^0.5,0)ではないでしょうか?  ご指摘の通りです。  間違って、頂点の座標を書いてしまいました。すみません。  焦点の座標は、質問者さんのお考えどおりです。

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質問者からのお礼

早速ご回答有難うございます。 理解することができました。

  • 回答No.1

>これは,標準形からどのように導けばよいのでしょうか? 45度の回転と平行移動(漸近線の交点を原点にする)をします. 焦点なども回転・平行移動させればでてきますが 一般には綺麗にはなりません. >式y=ax/(b+x)も双曲線と聞きました。 一般には y=(ax+b)/(cx+b) (cは0ではない) という形でしょう. これは直角双曲線の特別なケースで 漸近線がx軸,y軸と平行になるものです. 「標準形」の方はこのような漸近線が両方とも 軸に平行になるものは表現できません. というか・・・ y=(ax+b)/(cx+b)の方が普通はなじみがあるはずです. 小学校・中学校・高校(数C(かな?)以外)では ほとんどこっちの式でしょう.

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質問者からのお礼

有難うございます。 はるか昔に習った覚えがあるかなといった感じです。

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