双曲線の方程式がうまく求まりません・

質問

２点F(c,0),F'(-c,0)を焦点として、それらからの距離の差が
2a(a>0)となる双曲線の方程式をもとめたいのですが、うまくいきません。

｜PF-PF'｜=2a(a>0)

２乗して

PF^2+PF'^2-2PF・PF'=4a^2

(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2-2√{(x-c)^2+y^2}・√{(x+c)^2+y^2}=4a^2

ちょっと整理して

(x^2+y^2+c^2-2a^2)^2={(x-c)^2+y^2)}{(x+c)^2+y^2}

（左辺）=x^4+y^4+c^4+4a^4+2x^2・y^2+2c^2・y^2-4a^2・x^2

(右辺)=x^4-2c^2・x^2+c^4+2x^2・y^2+2c^2・y^2+y^4

よって、打ち消しあう項があって

-2c^2・x^2=4a^4-4a^2・x^2・・・

となってしまいおかしいです。何がちがうんでしょうか？一回とき直してもやはりおなじです。教えてください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(x^2+y^2+c^2-2a^2)^2
は展開しても
x^4+y^4+c^4+4a^4+2x^2・y^2+2c^2・y^2-4a^2・x^2
にはなりません。

お礼

やってはいけないことをしてしまいました・・・
ありがとうございました

回答No.2

info22_

>(x^2+y^2+c^2-2a^2)^2={(x-c)^2+y^2)}{(x+c)^2+y^2}

>(左辺）=x^4+y^4+c^4+4a^4+2x^2・y^2+2c^2・y^2-4a^2・x^2
間違い。
(左辺）=y^4+2x^2*y^2+2c^2*y^2-4a^2*y^2+x^4+2c^2*x^2-4a^2*x^2+c^4-4a^2*c^2+4a^4

>(右辺)=x^4-2c^2・x^2+c^4+2x^2・y^2+2c^2・y^2+y^4
>よって、打ち消しあう項があって

>-2c^2・x^2=4a^4-4a^2・x^2・・・
間違い。
(左辺)-(右辺)=-4(a^2*y^2-c^2*x^2+a^2*x^2+a^2*c^2-a^4)=0
c>a>0なので c^2 -a^2>0
(c^2-a^2)x^2 -a^2*y^2=a^2*(c^2-a^2) (>0)
これが求める双曲線の方程式です。

お礼

ありがとうございます・。