双曲線の方程式の導出について

質問

教科書をもとに双曲線の導出を行っているのですが、どうしてもわからないことがあります。

2つの焦点F(c,0),F'(-c,0),|PF-PF'|=2a,(c>a>0)のとき
1回目の両辺の二乗で式を整理すると
+-a√{(x+c)^2 + y^2}=cx + a^2　(ここまでは教科書と同じ解答)
となり
2回目の両辺の二乗で
(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 =(c^2 - a^2)a^2
にならず
(c^2 - a^2)x^2 + a^2y^2 =(c^2 - a^2)a^2
になってしまうのですが、2回目の二乗でどのようにすれば
(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 =(c^2 - a^2)a^2
になりますか？

回答お願いします。

回答No.3

jcpmutura · ベストアンサー

±a√{(x+c)^2+y^2}=cx+a^2
↓両辺を2乗すると
a^2{(x+c)^2+y^2}=(cx+a^2)^2
↓展開すると
a^2x^2+2cxa^2+a^2c^2+a^2y^2=c^2x^2+2cxa^2+a^4
↓両辺から2cxa^2を引くと
a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2=c^2x^2+a^4
↓両辺からa^2x^2+a^2y^2+a^4を引くと
a^2c^2-a^4=c^2x^2-a^2x^2-a^2y^2
↓因数分解すると
(c^2-a^2)a^2=(c^2-a^2)x^2-a^2y^2
↓左辺と右辺を入れ替えると
(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=(c^2-a^2)a^2

回答No.2

atkh404185

±a√{(x+c)^2 + y^2}=cx + a^2
の両辺を２乗すると
[±a√{(x+c)^2 + y^2}]^2=(cx + a^2)^2
a^2{(x+c)^2 + y^2}=c^2x^2+2ca^2x + a^4
a^2(x^2+2cx+c^2 + y^2)=c^2x^2+2ca^2x + a^4
a^2x^2+2ca^2x+a^2c^2+a^2y^2=c^2x^2+2ca^2x+a^4
両辺をいれかえると、
c^2x^2+a^4=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2
a^2x^2+a^2y^2　を左辺に、　a^4　を右辺に移項すると、
c^2x^2-a^2x^2+a^2y^2=a^2c^2-a^4
これより、
(c^2-a^2)x^2+a^2y^2=(c^2-a^2)a^2
になります。
単なる計算まちがいでは？
自分で計算した式の間違いを見つけるのは　『　なかなか　』　大変です。
《　符号　》　だけの間違いなので、
《　符号　》　に気を付けて、計算し直せばどうですか？

回答No.1

f272

普通に計算すればそうなるけど...
(c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 =(c^2 - a^2)a^2...(1)
の左辺にc^2 x^2があって
+-a√{(x+c)^2 + y^2}=cx + a^2...(2)
の右辺を2乗したものだよね。
ということは(1)の- a^2y^2は，(2)を2乗して左辺に出てくるa^2 y^2を移項したものだな。