不定積分について

質問

以下の不定積分が分かりません
回答よろしくお願いします

(1)∫sin^5xdx
(2)∫1÷sinxdx

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)∫sin^5(x)dx
=∫sin(x)*sin^4(x)dx=∫sin(x)*(1-cos^2(x))^2dx
=∫sin(x)*(1-2cos^2(x)+cos^4(x))dx
=∫sinxdx +2∫(cosx)'*cos^2(x)dx-∫(cosx)'*cos^4(x) dx
=-cosx+(2/3)cos^3(x)-(1/5)cos^5(x) +C

(2)∫(1/sinx)dx
=∫sin(x)/sin^2(x) dx=∫sin(x)/{1-cos^2(x)} dx
=∫sin(x)/{(1+cos(x))(1-cos(x))}dx
=(1/2)∫sin(x){1/(1+cos(x))+1/(1-cos(x))} dx
=(-1/2)[∫(cos(x))'/(1+cos(x))dx+∫(cos(x))'/(1-cos(x)) dx]
=-(1/2)[log(1+cos(x))-log(1-cos(x))]+C
=(1/2)log{(1-cos(x))/(1+cos(x))}+C　…これでも良い。更に↓変形すると

=(1/2)log{(1-cos(x))^2/(1-cos^2(x))}+C
=(1/2)log{(1-cos(x))^2/sin^2(x)}+C
=log{(1-cos(x))/|sin(x)|} +C

お礼

とても分かりやすく丁寧な回答、有り難うございました。また機会がありましたらどうぞよろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland

いずれも合成関数の積分で計算できます。

(1) sin(x)^5=sin(x){1-cos(x)}^2 として積分してください。
(2) 1/sin(x)=sin(x)/sin(x)^2=sin(x)/{1-cos(x)^2} とし、後は部分分数分解してから積分してください。

お礼

とても親切な回答ありがとうございました。ぜひ参考にさせて頂きます。