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球面上に，互いに離れるように点を配置する
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難しいですね。 nがきまれば、2点間の距離が最大となる配置が存在するはずだとは思うのですが、 一般のｎについてどのような配置になるかなど、ちょっと見当もつきません。 ただ、とりあえず指摘できるのは、正多面体は、必ずしも2点間の距離が 最小になる配置ではないということです。 例えば、n=8のとき、半径1の球面上に正六面体（立方体）の各頂点に なるように配置すると、2点間の距離は 2/√3=1.154… となりますが、添付図のように（手書きで適当に書いたので歪んでますが）、 上面と下面が合同な正方形（真上から見ると互いに45°ずれた位置にある）で、 側面が6つの合同な正三角形になるような多面体の各頂点になるように 配置してみると、2点間の距離は 4/(√(8+2√2)=1.21556… となり、立方体のときより長くなります。 これがn=8のときの最大値であるかどうかも分かりません。 仮にこれが最大とするなら、一部の点の位置を変えて、その点からのもっとも 近い点への距離だけが、1.21556…より長くなるようにすることはできますから、 「nにかかわらず各点から最も近い点への距離は，どの点についても同じになる」 ということについても、おそらく言えないのではないかという気がします。
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- momordica
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#1です。 いろいろ書き間違ってしまっていたので、一応訂正しておきます。 × 必ずしも2点間の距離が最小になる配置ではない ○ 必ずしも2点間の距離が最大になる配置ではない × 側面が6つの合同な正三角形になるような ○ 側面が8つの合同な正三角形になるような 他にも間違っていたらすみません。
お礼
訂正ありがとうございました。
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