半径1の円周の任意の２点の平均距離は、4/π。これを拡張すると？

質問

半径１の円を考えます。
内接する正n角形を考えます。
n個の頂点から任意の2点を結ぶ場合の数は、n(n-1)/2。
それらの線分の距離の和を、がんばって計算すると、nΣ[k=1,n-1]sin(πk/n)。

それらを割って、n→∞とすると、4/πになりました。
つまり、半径1の円周の任意の２点の平均距離は、4/π、といえます。

で、その拡張として、半径1の円周の任意の３点でできる三角形の平均面積を考えたいのですが、どうにも計算できません。

また、別の拡張として、半径1の球面の任意の２点でできる線分の平均距離を考えたいのですが、「正n面体を考え、n→∞」とすることができないために、どのように定式化すればよいのかもわかりません。

興味をもっていただければ、なにとぞいい計算・アイデアを教えてくださいますようお願いいたします。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

>球面のときはどう考えたらよいのでしょか?
そういうのは自分で考えるから楽しいんじゃないかな。

同じ発想でやりたければ、「球面」をどのようにパラメータ化するかを考えることになるでしょう。

ここで問題となるのは「任意の点」を選ぶという動作が、そのパラメータ化で崩れてしまわないかということです。
逆に言えば、最初の単位円 S を [0, 2π) に対応付ける方法も、単位円上に「任意の点」を取る方法と、区分上に「任意の点」を取る方法が「まんべんなく対応づいて」いなければなりません。

この「まんべんなく対応する」という概念を形式化することが必要です。

お礼

ありがとうございます。
球面の場合は、面積要素とか面積分を考えればいいのかなあと思っています。
球面がパラメータu,vによって、S(u, v) := (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) によって表されるとする。
また、パラメータを変えて、
S(u', v') := (x(u', v'), y(u', v'), z(u', v'))とする。
面積要素は、それぞれ、|dS(u, v)|、|dS(u', v')|。
点 S(u, v)　と点S(u', v') との距離は｜S(u, v)-S(u', v')｜とかける。

よって、球面の任意の２点でできる線分の平均距離は、

∫∫｜S(u, v)-S(u', v')｜|dS(u, v)||dS(u', v')|
--------------------------------------------------
∫|dS(u, v)|∫|dS(u', v')|

これでいいでしょうか？

回答No.1

koko_u_

単位円を S とするときに、2 点間の距離 d は写像

d : S×S -> R

を与えるだろう。S を区間 [0, 2π) と同一視して d は

d : [0, 2π)×[0, 2π) -> R

なる関数だとも考えられる、S 上の 2 点を「任意に選ぶ」とは平面[0, 2π)×[0, 2π)上での平均値

∫ d(x, y) dxdy / ∫ dxdy

を考えることになるだろう。

任意の 3 点の場合は [0, 2π)×[0, 2π)×[0, 2π)上の関数を考えればよい。

お礼

ありがとうございます。
球面のときはどう考えたらよいのでしょか?