Ｓオービタルの平均半径

質問

現在、量子力学を学んでいる者です。

量子数ｎ、ｌのオービタルの平均半径を求める式が、
〈ｒ〉＝ｎ^2*{1+1/2*(1-l*（ｌ+1）/n^2)}*a/z
であることは学びました。

＊　例えばオービタルが3ｓの場合、ｎ＝3、ｌ＝0だから、計算すると
〈ｒ〉＝27a/2z

このオービタルの平均半径ですが、波動関数からも求めることができるそうなのです。
3sの波動関数が
1/{9*(3)^(1/2)}*（Z/a）^(3/2)*(6-2ρ+1/9*ρ^2)*ｅ^（ρ/6）
なので、これを使って解けば上の計算式と同じ答えになるのだとは思うのですが、解法がわかりません。
どなたか教えていただけないでしょうか。

回答No.1

syu-chem · ベストアンサー

期待値=∫ψ*Ωψdτ(ψ*は波動関数の複素共役、Ωはオブザーバルな演算子)であるので
平均半径、つまりrの期待値を求めるには(この場合Ω=r)
<r>=∫ψ*rψdτ
dτ=r^2dr sinθdθ dφ
を計算すれば求まります。(rは0～∞、θは0～π、φは0～2πの積分範囲)(ρ=2Zr/a)
<r>=∫∫∫ψ*rψr^2dr sinθdθ dφ
=∫∫∫r^3|ψ|^2dr sinθdθ dφ
=4π∫r^3|ψ|^2dr (ψはrのみの関数なのでθ、φに関してのみ積分計算しました)
後はψ=1/{9*(3)^(1/2)}*（Z/a）^(3/2)*(6-2ρ+1/9*ρ^2)*ｅ^(-ρ/6）なのでこれを代入して計算すればよいはずです。
ただ、計算するとかなり複雑になると思います。(自分は計算してないので分かりませんが・・・)
一応∫(r^n)e^(-ar)dr=n!/a^(n+1)という公式(n!:nの階乗のこと)があるのでこれを使えば多少簡単になると思いますが。
後はどうかがんばってください。

回答No.2

syu-chem

#1の補足なのですが∫(r^n)e^(-ar)dr=n!/a^(n+1)は積分範囲(0～∞)でのことです。すいません。

お礼

的確で丁寧なアドバイス、本当にありがとうございました。
積分で少し手間がかかりましたが、答えを解くことができました！！