２ｓ軌道の極大値についてまたは平均値

質問

水素様の２ｓ軌道の動径部分は
R＝(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
a=ボーア半径、z=原子番号
で表されるそうで、
D=r^2*R^2を微分して軌道半径の極大値を求めれば良いはずですが、
分かりません。だれか、計算過程を含めて教えて下さい。
また、平均の軌道半径ってどうやって計算するのですか、教えて下さい。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

「R＝(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
a=ボーア半径、z=原子番号
で表されるそうで、
D=r^2*R^2を微分して軌道半径の極大値を求めれば良いはずですが」
ということですので、

計算の参考程度まで

K=(1/2*2^0.5)*((z/a)^1.5)
R(r)=K*(2-Z*r/a)exp(-zr/2a)
R(r)^2=K^2*(2-Z*r/a)^2exp2(-zr/2a)
=K^2*(2-Z*r/a)^2exp(-zr/a)=K^2{4- 2*Z*r/a+(Z*r/a)＾2}exp(-zr/a)
D=r^2*R^2=K^2{4r^2-2r^3(Z/a)+r^4(Z/a)＾2)}exp(-zr/a)
(Z/a)=A
dD/dr=K^2{8r-6r^2A+4r^3A＾2)}exp(-Ar)+
K^2{4r^2-2r^3A+r^4A＾2)}(-A)exp(-Ar)
=K^2[8r-10r^2A+6r^3A＾2-r^4A＾3]exp(-Ar)
K>0, exp(-Ar)>0, r>0
{8r-10r^2A+6r^3A＾2-r^4A＾3}=0
r{8-10rA+6r^2A＾2-r^3A＾3}=0
8-10rA+6r^2A＾2-r^3A＾3=0
rA=x
x＾3-6x＾2+10x-8=0
x=(y+2)
y＾3+6y＾2+12y+8-6(y＾2+4y+4)+10(y+2)-8=0
y＾3-2y-4=0
y=2, 8-4-4=0
(y-2)(y＾2+2y+2)=0
y=(-2±√4-8)/2=-1±j
だから、x=4, 1±j の時、極大、極小をとるんですね。
極大 rA=4 r=4/A A=(Z/a)
K=(1/2*2^0.5)*(A^1.5)
D=r^2*R^2=K^2{4r^2-2r^3A+r^4A＾2)}exp(-Ar)
=K^2{4(4/A)＾2-2(4/A)^3A+(4/A)^4A＾2)}exp(-4)
=K^2{(64/A＾2)-(128/A^2)+(256/A)^2)}exp(-4)
=K^2{(192/A＾2)}exp(-4)
R(r)=K*(2-rA)exp(-Ar/2)=K*(2-4)exp(-4/2)
=K*(-2)exp(-2)

あってるかどうかは要確認のこと。
平均は？ですが,
普通の平均値の算出式√{（1/4π）∫Ｒ＾2dr}
平面だと(1/2π）みたいなものをを使うのでは。
参考程度まで

お礼

どうも、参考になりました。これからもお願いします。