水素原子の期待値の計算

質問

水素原子１S軌道に関して運動量pの期待値〈p^2〉を求め、最終的には運動エネルギーの期待値を得たいのですが、

水素原子の１S軌道の波動関数をΨ、その複素共役をΨ*とします。
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)です。aはボーア半径です。
このとき
〈p^2〉＝∫Ψ*p^2Ψdτ
　　　　=∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ* p^2Ψ
ここでp^2=(-(h/2π)^2)d^2/dx^2なので上の式に代入して
　　　　=∫(0~2π)dφ∫(0~π)sinθdθ∫r^2drΨ*(-(h/2π)^2)d^2/dx^2Ψ
さらに
Ψ=(1/π)^(1/2)・(1/a)^(3/2)・exp(‐r/a)であるので(aはボーア半径)、上の式に代入して整理すると
　　　　=(2π)×(2)×(1/π) ・(1/a^3)・(-(h/2π)^2)∫r^2・exp(‐2r/a)・(d^2/dx^2)dr
xの2階微分の処理方法を含め、ここからどのように計算したらよいか分からずにいます。
最終的には水素原子１S軌道に関しての運動エネルギーの期待値を得たいのです。
しかもポテンシャルエネルギーの期待値との関係から〈K〉＝-(1/2) 〈U〉= e＾2/(8πεa)になるはずなのですが真空の誘電率εや電荷eが出てくる気配もなく困っています。
どうかご教示いただけないでしょうか。
そもそも計算方法が間違っているのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

101325 · ベストアンサー

p^2 = (-(h/2π)^2) d^2/dx^2 となるのは、一次元のときです。水素原子のように三次元のときには

　p^2 = (-(h/2π)^2) (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2)

になります。これを極座標で表すと

　p^2 = (-(h/2π)^2) ((1/r^2)∂/∂r(r^2∂/∂r) + (1/(r^2sinθ))∂/∂θ(sinθ∂/∂θ) + (1/(rsinθ)^2)∂^2/∂φ^2)

のようにかなり複雑な形になりますけど、水素原子の1s軌道の波動関数Ψがθとφに依存しない（∂Ψ/∂θ＝∂Ψ/∂φ＝0）ので、p^2をΨに作用させると

　p^2 Ψ = (-(h/2π)^2) ((2/r)∂Ψ/∂r + (∂^2Ψ/∂r^2))

のような簡単な形になります。

　∂(exp(-r/a))/∂r = -exp(-r/a)/a
　∂^2(exp(-r/a))/∂r^2 = exp(-r/a)/a^2

ですので

　Ψ* p^2 Ψ = 1/(πa^3) (-(h/2π)^2) exp(-2r/a) (-2/(ra)+1/a^2)

となって運動エネルギーの期待値〈K〉は

〈K〉= ∫∫∫dφdθdr{r^2 sinθ Ψ* p^2 Ψ/2m}
　　　= 4π∫dr{r^2 Ψ* p^2 Ψ/2m}
　　　= 4π/(πa^3) (-(h/2π)^2/2m)∫{exp(-2r/a)(-2r/a+(2r/a)^2/4)}dr
　　　= 2π/(πa^2) (-(h/2π)^2/2m) ∫{exp(-t)(-t+t^2/4)}dt
　　　= 2π/(πa^2) (-(h/2π)^2/2m) (-1+1/2)
　　　= (h/2π)^2/(2m a^2)

のように計算できます（途中で2r/a=tとおきました）。

真空の誘電率εや電荷eで〈K〉を表すにはボーア半径の定義

　a= 4πε(h/2π)^2/(me^2)

を使います。この式を変形すると

　(h/2π)^2/m = a e^2 /(4πε)

のように書けるので、これを上で求めた〈K〉に代入すると

〈K〉= e^2 /(8πεa)

となります。

式が多いので間違っているところがあるかもしれません。あやしげなところや納得のいかないところがありましたら、お知らせください。

お礼

101325さま

calmdeiです。
アドバイスいただいた式を追ってみました。
大変丁寧に書き下していただいているので、分かりやすく助かりました。ほんとうにありがとうございました。
感謝の言葉もありません。
ありがとございました。