- ベストアンサー
フェルマー点の定義で和を積に変えると
鋭角三角形を考えます。 フェルマー点とは3頂点からの距離の和が最小となる点だが、 3頂点からの距離の積が最大となる点はどういった点でしょうか? 3頂点からの距離の2乗の和が最小となる点は重心だが、 3頂点からの距離の2乗の積が最大となる点はどういった点でしょうか? 座標だとかベクトル表示とか性質とか、知られていることがあれば教えてください。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (2)
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
関連するQ&A
- 三角形の内部の一点から各辺までの距離の和
フェルマー点について考えていて思ったのですが、三角形の内部の一点から各辺までの距離の和を最小にする点って初等幾何的にはどうなりますか?とても気になっていて他のことが手につかないので困ってますにしました…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角形のフェルマー点と重心が一致すれば正三角形か?
三角形ABCには、五心と呼ばれる点があります。傍心を除外した、 重心。垂心。外心。内心。 のうち勝手な二点が一致すれば、三角形ABCは正三角形であることが、少し考えれば分かると思います。 そこでフェルマー点というのを考えます。 フェルマー点とは、△ABC内の点Pのうち、 ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120° となる点をいいます。 僕が調べたところ、 フェルマー点と垂心が一致すれば、三角形ABCは正三角形であることが分かりました。 フェルマー点と外心、フェルマー点と内心についても同様でした。 しかし、フェルマー点と重心が一致すればどのような三角形か、という問題を考えたとき、行き詰ってしまいました。 それも正三角形であることが証明できるのでしょうか?また、正三角形でない反例があるのでしょうか? さらに、ジェルゴンヌ点とかネーゲル点とかナポレオン点とかも考えたとき、なにか成立することはあるのでしょうか? なお、詳しい性質と図においては、 http://www.geocities.jp/osaqmath/j3-2.html を見ていただければ分かりやすいと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- フェルマー直線(造語)
(頂角がすべて120度未満の)三角形ABCに対して点Pをとり、 PA+PB+PC が最短になるような点Pをフェルマー点といい、∠APB=∠BPC=∠CPA=120度などの性質があります。 三角形ABCに対して直線pをとり、 直線pと点Aとの距離をpAなどと書くことにすると、 pA+pB+pC が最短になるような直線pを考えると、なにか性質はありますでしょうか。 統計学の分野では、Σ{ y_k - (a_x k + b) }^2 が最小となるような直線 y = ax + b を回帰直線といい、x_k の平均, y_k の平均 による重心を通るという性質があり、相関をみるのに役立ちます。 今回の質問も、3つの家A、B、Cの間に一本のまっすぐな川をつくり、それぞれの家から川までの距離の和を最小にするという意味で、何らかの役に立てばいいのですが。
- 締切済み
- 数学・算数
- テンソル積の定義と具体的な演算
ベクトルには内積、外積、テンソル積(ディアド)があります。 (1,2), (-3,0)の内積、外積(3次元になるけど)はそれぞれ定義に沿って簡単に計算できます。テンソル積ではどうなるでしょうか。 テンソル積についてだけ、本を読んでも定義が述べられていないように感じます。テンソル積の性質とか成分の表現などは記述されていますが。テンソル積は2階までだったらマトリックスとして書けるけれども、高階だったら紙に正確に書けない(3階だったらキューブ、4階だったらもう無理)というようなことでしょうか。 ところで、この"定義"ですが、内積では、 A.B=AiBj(ei.ej)=AiBjδi,j=AiBi というのは定義とは言えないと思います。基底ベクトルの計算に内積が含まれているからですね。またこれが成立するのは直交座標系だけということになります。そういう意味でのテンソル積の"定義"を知りたいと思います。以前、テンソル積は難しいという意見がありました。しかし、難しい定義というのは存在せず、ややこしいとか、用語が難解で覚えにくいというのはあると思いますが。 また、○○積という言葉ですが、英語だとスカラー積、ベクトル積、テンソル積(これだけは日本語と英語が同じ?)ということで、その積の結果出力されるものの種類となっているということでよいでしょうか? また、表記について、内積(ドット)、外積(×)ですが、テンソル積は○←×としたり、2つのベクトルをただ単につなげて表記する(記号なし)場合もあります。古い本ほど○←×になっているような気がしますが、最近は記号なしが主流なのでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 2数の積の最小、最大の数を出す問題
2数の積の最小、最大の数を出す問題 次の問題ですが、どのように取りかかって良いのか全く分かりません。 易しくお教えください。 (1)差が14となる2数の中で積が最小となる2数を求めなさい。 (2)和が12となる2数の中で積が最大となる2数を求めなさい。 以上のような問題なのですが、考え方と解き方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3つの点電荷の内部にもうひとつの点電荷を置く
角度はすべて120度未満の三角形ABCで、内部の点Pをとります。 ベクトルPAの表記は矢印を省略して、単にPAなどとかきます。 PA+PB+PC=0 をみたす点Pは重心です。 Oを始点にすると、OP=(OA+OB+OC)/3となることから分かります。 モーメントの和が0と見なすと、Pは、重さは0とみなした三角板の3つの頂点に同じ重さのおもりをつけて、三角板を下から指で支えたときに、つりあう位置を意味しています。 PA/|PA| + PB/|PB| + PC/|PC| = 0 をみたす点Pはフェルマー点です。 3つの単位ベクトルを足して0ベクトルになるとき、3つのベクトルを平行移動すればそれは正三角形状になり、ベクトルどうしのなす角は120度になることから分かります。 モーメントの和が0とみなすと、Pは、テーブル上の3点A,B,Cに穴を開け、また、Yの字型に作った糸の3つの端に同じ重さのおもりをつけて、3つの穴からたらしたときの、糸の結び目の位置を意味しています。 では、 PA/|PA|^3 + PB/|PB|^3 + PC/|PC|^3 = 0 をみたす点Pはどういった点なのでしょうか? 知られていることや参考サイトがありましたら教えてください。 単位ベクトルPA/|PA|を、距離の2乗に反比例させたPA/|PA|^3らの和が0とみなすと、Pは、テーブル上の3点A,B,Cに点電荷を固定し、もうひとつの点電荷を内部に置いたときにどちらにも移動しなくてつりあう位置を意味しています。 http://topicmaps.u-gakugei.ac.jp/phys/matsuura/java/Efield3/efield3.htm によると、正三角形ではそういった点Pは4箇所あるようですが。 物理のラグランジュ点とは関係あるのでしょうか。 また、 PA/|PA|^2 + PB/|PB|^2 + PC/|PC|^2 = 0 や |PA|*PA + |PB|*PB + |PC|*PC = 0 をみたす点Pの物理的意味があれば教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 距離の和を最小にする点を求める問題
xy平面上の3点 O(0,0) A(1,0) B(0,1) からの距離の和 OP+AP+BP を最小にする点Pを求めよ この問題を解いてます 問題文が短く、全然わからなかったのですが、なんとなくOを中心とする半径1の円周上にPがあると仮定してP(cosθ、sinθ)とおいて距離を計算してみたのですが、うまく最小値を計算できませんでした。2次関数の最大最小問題には帰着できませんでした。 この発想は全然ダメでしょうか? アドバイスいただけたら幸いです。よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
まことにありがとうございます。 もっこり後、電気を消したトイレで30分うんことしっこ、黙考でうーんと思考をしながら、排泄と同時に頭に光がともり、distance geometry(距離幾何学)の考えが浮かびました。 平面三角形ABCにおいて,BC=a,CA=b,AB=cとおき,平面上の点Pに対してPA=x,PB=y,PC=zとするとき a^2x^2(b^2+c^2+y^2+z^2-a^2-x^2) +b^2y^2(c^2+a^2+z^2+x^2-b^2-y^2) +c^2z^2(a^2+b^2+x^2+y^2-c^2-z^2) =a^2b^2c^2+a^2y^2z^2+x^2b^2z^2+x^2y^2c^2 が成立します。 このときの、x^2y^2z^2の極大点を求めたいことになります。 X=x^2≧0、Y=y^2≧0、Z=z^2≧0とすると、2次曲面(ただし、すべての座標は0以上)上の関数XYZの極大点となります。 a=√3、b=√3、c=√3のときは、 X(Y+Z-X+3)+Y(Z+X-Y+3)+Z(X+Y-Z+3)=9+YZ+XZ+XY (楕円放物面) (X≧0、Y≧0、Z≧0)での、XYZの極大点となります。 楕円放物線という曲面や、XYZ=定数 の曲面の性質や対称性を考え、X=1、Y=1、Z=1のときが極大のようにも思えますが。 ラグランジュの未定乗数法でX、Y、Z、λを求め、ヘッシアンの正負を調べればよいが、計算でふんづまり中。
補足
座標平面上の点a, b, cが決まっているとき、点p(x,y)について F=|p-a||p-b||p-c| のグラフ(xyz空間の曲面)を考えると、おおまかにみればUの字型の曲面で、3点の近くで見れば、p=a,b,cでF=0となるだけです。 新しく、 3つの点電荷の内部にもうひとつの点電荷を置く という題名の質問をさせていただきましたが、そこでのグラフ http://topicmaps.u-gakugei.ac.jp/phys/matsuura/lecture/general/materials/q_eline.htm を上下逆にした感じになるでしょうか。 一般に、曲面の極大点の個数と極小点の個数と鞍点の個数の関連も気になってきました。 モース理論を勉強すれば分かるかなあ?