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距離の和を最小にする点を求める問題
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点Ｐが仮に辺ＡＢ上にあるとすると、ＡＢの中点が最小になることがわかる。 同様に 辺ＯＡ上にあるとすると、Ｏ 辺ＯＢ上にあるとすると、Ｏ になるので、ＯとＡＢの中点上にある この時、中点をＱとして∠ＢＰＱ＝θとすると OP+AP+BP ＝ (sinθ-cosθ+2)/(√2 sinθ) ただし４５°<= θ <= ９０°
その他の回答 (4)
- BLUEPIXY
- ベストアンサー率50% (3003/5914)
#4>この部分をもう少し教えていただけないでしょうか？ 図を描いて、OP+AP+BP を求めてちょっと整理するとそんな感じになるかと
お礼
やっとわかりました。 本当にありがとうございました
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.2に追加です。 回答No.2でご紹介した問題に比べて、ご質問の場合はOABが（直角三角形であることは、ま、どうでもよくて）二等辺三角形という限定が付いているぶん、ずっと簡単になっています。Pがどんな線上に来そうかはすぐに分かるはず。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
過去に同じ質問↓がありますが、証明のヒントと答だけしか書かれていません。アドバイスをご希望ですので、ちょうど良いでしょう。
- ev_galois
- ベストアンサー率0% (0/2)
少なくとも、ＰはＯ，Ａ，Ｂを結ぶ三角形の中に存在するはずなんで、Ｐを（sinθ, cosθ）とおくことは良くないと思います。 Ｐを（x, y）とおくとき、 ＰＯ＋ＰＡ＋ＰＢ＝√（x^2+y^2）+ √（(x-1)^2+y^2）+ √（x^2+(y-1)^2） が最小となる（x, y）を求めればよい。 このままでは求めにくいから、 ＰＯ^2＋ＰＡ^2＋ＰＢ^2 とし、これが最小となる（x, y）を求めればよいと思います。 上式を x, yについてそれぞれ平方完成すると、 上式 ＝ (x - □)^2 + (y - △)^2 + ☆ と変形できるので、 x = □ y = △ のとき、が求めるＰの座標となるかと思います。 参考になれば幸いです。
補足
早速回答いただきありがとうございます。 そうですね！（x,y）と置くほうがいいですよね！自分は何をやっていたのでしょうか・・・。 ひとつわからないのですが、 ＰＯ^2＋ＰＡ^2＋ＰＢ^2 を最小にするx,yはＰＯ＋ＰＡ＋ＰＢを最小にするのでしょうか？ PO^2が最小ならPOが最小だというのは理解できるのですが、２乗の和を最小にするものはそれぞれの１乗の和を最小にするのでしょうか？
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回答ありがとうございます。 >この時、中点をＱとして∠ＢＰＱ＝θとすると OP+AP+BP ＝ (sinθ-cosθ+2)/(√2 sinθ) 申し訳ありませんがこの部分をもう少し教えていただけないでしょうか？