三角形内点と各頂点との距離の総和を最小にする点

質問

三角形ＡＢＣ内の点Ｐとするとき
　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ
を最小にする点Ｐの出来るだけ初等的な求め方を教えてください。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

ANo.2のコメントについてです。

　中学生向きだとすると微分法はあからさまには使えない。でも、三角関数や三角不等式などを使った不等式の話ならOKでしょう。
　一方、楽しい授業にしたい。直感的理解を助けるには、綱引きだと思ったらどうでしょうかね。（石けん膜の物理は却って難しいので。）

[1]　a,b,cの三人が正三角形の頂点にいるとする。三つ又になった綱の端を三人がそれぞれ持って、同じ力で綱引きをする。するとどうなるか、直感でいいから答えよ。
　模型で示す。三角形の板の頂点に滑車を付けたものを用意し、三つ又の紐のそれぞれの端に同じ重さの分銅を付けたものをこの滑車に掛けて、分岐点がどこに行くかを観察させる。
　分岐点がある場所に落ち着く。落ち着いたってことは、文字通り「引き分け」であって、この状態で綱の分岐点に掛かる力は丁度均衡している。（力のベクトルの和が０である。）このとき、綱のなす角度は幾らでなくてはならないか。

[2]　この状態で、もし、aが力を強め（弱め）ると、綱の分岐点はどのあたり（正確な位置は問わないが、b,cの力は同じであることに注意）に移動するか。（答が出た所で、実験で示す。aの分銅に追加のおもりを付ければ良い。）そのとき、綱の長さの合計は均衡状態に比べて大きいか、小さいか。（丁寧に議論する。）
　その状態から、aが力を緩め（強め）て、b, cと同じ力になるまで変化させたとき、分岐点はどこに移動するか。 （当たり前でも、言われるまで分かんない子もいそう。）

[3]　もし、aの力が強すぎ（弱すぎ）る状態で、bが力を強め（弱め）ると、綱の分岐点はどのあたり（正確な位置は問わない）に移動するか。（答が出た所で、実験で示す。）そのとき、綱の長さの合計は、aの力だけが違う場合に比べて大きいか、小さいか。（ここが一番難しい。分かんない子には、直感的に理解させるに留めても、ま、良いか。）
　その状態から、bが力を緩め（強め）て、cと同じ力になるまで変化させたとき、分岐点はどこに移動するか。

[4]　分岐点で力が均衡しているとき、綱の長さの合計が最小であることを示せ。

[5]　ここまでのまとめ：正三角形に並んだ綱引きとは、すなわち、三人それぞれが、綱の分岐点と自分との距離をなるべく小さくしようとすることでもある。その結果、全員の力が同じであれば、綱の長さの合計が最小になるということが証明できた。
　ならば、正方形に並んだ四人ではどうか。また、二人でやる綱引きではどうか。考えてみよ。（宿題。ただし提出不要）
　一方、ここまでの話に付いて来られなかった子も、とにかく綱引きが均衡していれば綱の長さの合計が最短で、しかも分岐点で綱が120度をなすのだ、ということさえ前提にすれば、以下の話はきっと分かる。だから山田っ！寝ないように。

[6]　正三角形に並んだ三人が同じ力で綱引きをして、分岐点に掛かる力が均衡する状態になったとする。次に、綱引きを続けながら、aが自分の持つ綱の方向を変えないで（つまり綱の方向に沿って）動いたとする。図を描け。その時、綱の分岐点はどこへ移動するか。綱の長さの合計は正三角形に並んでいた時とどう違うか。

[7]　綱引きを続けながらb,cも動いて、三角形abcが所定の三角形ABCと合同になるところまで移動することが出来るか。どんなときに可能で、どんなときは不可能か。ヒント：可能だとすると、三角形ABCと合同である状態で綱引きをしながらaとbが動いて、abcが正三角形になるようにすることができる筈である。その過程を、時間を逆回しにしたらどう見えるか。

[8]　まとめ。綱引きのことは一度忘れて、幾何学の言葉で結果を総括する。

[9] 再び物理に戻って、石けん膜の実験を見せる。綱引きと石けん膜は、どちらも同じ幾何の問題なのだっっ！ということは、石けん膜はどんな働きをしているのだろうか。考えてみよ（宿題）。

お礼

本当に懇切丁寧な回答を頂き、心から感謝いたします。
文章を読んでいると楽しく有意義に出来そうに思います。
自分なりに工夫を付け加えてやってみます。
本当に有り難うございました。
この質問はこれで締め切らせて頂きますが、何か有りま
したら、ぜひまたご指導下さい。

回答No.2

stomachman

丸投げ禁止規定もある上に、「出来るだけ初等的」かどうかは質問したご当人にしか判定できないんじゃないかな？
　ですから、こちら→ http://oshiete1.goo.ne.jp/qa111184.html などを参考に、まずはご自分で考えてみては如何でしょ。

（#1さんは質問のタイトルを見落としたのでは？）

お礼

大変失礼しました。
中学生に説明できるようにということで、「出来るだけ初等的」
という言葉を使いました。
参考にして自分でも考えてみます。

回答No.1

narucross

こんばんは。

ベクトルを用いて説明したいと思います。

平面での任意の点を考える場合、二つの一次独立なベクトル（平たく言えば、長さが０でなく、また平行でもない二つの矢印）があれば、それらのそれぞれの実数倍の和で表現できます。
なにが言いたいのかというと、視点をそろえると扱いやすいということです。

以下はすべてベクトルの記号を略して書いています。
lAP+BP+CPl
始点をAに揃えると
=l3AP-(AB+AC)l
=3lAP-(AB+AC)/3l
よって、APベクトルが(AB+AC)/3ベクトルと一致した時・・・＊に絶対値記号の中身が０になり、最小値を取ることがわかります。

では、＊とはどんな時（点）でしょうか。

(AB+AC)/3
=(2/3)*(AB+AC)/2
たとえばBとCの中点をMとおくと、
=(2/3)*AM
これは、三角形ABCの重心を表わしています。
つまり、Pが重心にあるときに最小値0をとることが分かりました。

お礼

回答有り難う御座いました。
ただ、これでは距離の自乗の総和を最小にすることに
なるのではないでしょうか。
もう少し自分でも考えてみます。