距離の和の最小値

質問

３点A(1,6),B(2,1),C(3,4)がある。
x軸上を点Pが移動するとき、
PA+PB+PCの最小になる点Pの位置を求めよ。

２点の場合はよくあるパターンですが、３点の場合はどうなるのでしょうか。
作図ではできそうもないと思ったので、P(p,0)と置いて、ＰＡ,PB,PCの距離
を求めて、３つの和の最小値を求めようと思いましたが、√が入っていて
うまくできません。よろしくお願いします。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

フェルマ-点　の応用問題のようだ。

http://search.yahoo.co.jp/search?p=%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E7%82%B9&search.x=1&fr=top_ga1_sa&tid=top_ga1_sa&ei=UTF-8&aq=-1&oq=

それを利用するにしても、どれか1点をx軸に対称にとると、点Ｐが△ＡＢＣの内部にある時と外部にある時とを考えなければならないように思う。
私も、解けたわけではないが。。。。。。ｗ

お礼

回答ありがとうございます
フェルマー点を既知として、考えてみたいと思います。
それを利用するには、x軸に対称にとるというのは
洒落ているなと思いました

回答No.5

mister_moonlight

それから、前に君が質問していた問題なんだが、書き込もうとしたら急用が出来て　それ以来忘れてた。。。。。ｗ
思い出したので、ここで解答しておく。

http://okwave.jp/qa/q6428532.html

a、b、cの対称式だから、定石どおりで解ける。但し、2変数問題として。

a＋b＋c＝x、ab＋bc＋ca＝y、abc＝z　と、すると、a＾2＋b＾2＋c＾2＝3　から、x＾2-2y＝3　‥‥(1)
シュワルツの不等式から　3(a＾2＋b＾2＋c＾2)≧(a＋b＋c)＾2　‥‥(2)
(1)と(2)から、√3＜x≦3　‥‥(3)
相加平均・相乗平均から　(a＋b＋c)≧3(3)√(abc) →　z≦x＾3/27　‥‥(4)
Ｐ＝a＾3＋b＾3＋c＾3＋3abc-6＝x＾3-3xy＋6z-6≦0を示すと良い。
それには、Ｐの最大値が0である事を示すと良い。
Ｐ＝a＾3＋b＾3＋c＾3＋3abc-6＝x＾3-3xy＋6z-6＝(9x-x＾3)/2＋6z-6≦(9x-x＾3)/2＋2x＾3/9-6
＝(81x-5x＾3-108)/18≡f(x)/18とする。
f(x)＝81x-5x＾3-108を微分して増減表を書いて、(3)の範囲で最大値を求めると、x＝3で最大値は0.
よって、Ｐ≦0　等号は　x＝3から、(1)と(4)よりx＝3、y＝3、z＝1　つまり　a＝b＝c＝1の時。　(Ｑ.Ｅ.Ｄ)

お礼

回答ありがとうございます
b,cの２つを固定するのはダメだと言うことが理解できたので、
cを固定してa,bの２変数で考えていったら最後まで自分では
解けたと思っています。
この解答も２変数の最大値の問題として、考える方法ですが、
Ｐ＝a＾3＋b＾3＋c＾3＋3abc-6＝x＾3-3xy＋6z-6＝(9x-x＾3)/2＋6z-6≦(9x-x＾3)/2＋2x＾3/9-6
の変形は途中で挫折してしまうと思いました。３変数で、条件があるから、２変数の関係に持ってくのが
いずれにしろポイントなのだと感じました。ただ、関数と見ないで代数的な式変形で証明することはできないのかと思っています。

回答No.3

longsu

#2です。勘違いしてました。撤回

回答No.2

longsu

この問題に限って言えば、点Cをｘ軸に関して反転（対象移動）させるって手はあるかもね。

お礼

回答ありがとうございます
点ＣをＸ軸で移動したあとが、移動しない場合と同様に
点Ｐとどう絡めるのか考えがまとまらない。

回答No.1

yurih

初等幾何でPの条件を求めた後、座標を求める。という方針で。
次を参考にしてください。

http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/vb-samples-001/1a-fermatproblem001.pdf

お礼

回答ありがとうございます
初等幾何でＰの位置を求めるのが、難しいと
思いました。まだ、できていません。