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座標平面上に2点A(-1,0),B(1,0)をとる。以下の問いに答えよ。 (1)kを実数とし、直線y=-x+kに関して点Bと対称な点をCとする。点Cの座標を求めよ。 2)点Pが直線y=-x+k上を動くとき、点PからAまでの距離とBまでの距離の和PA+PBが最小になるときの点Pの位置をP(k)とする。kが-1<=k<=1の範囲にあるときとそれ以外のときに場合を分けて、P(k)の座標を求めよ。
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皆さんの回答にあと少し追加します。 図上に座標軸や問題の直線、ABCP等の点を描いてみて下さい。 次に各点間を結ぶ直線、垂線、X,Y軸に平行な直線等を色々と描いてみて下さい。 そうすると直角三角形等が浮かび上がってくると思います。 先ず(1)ですが、y=-x+kとX軸の交点をDとすると、BCDは直角三角形となりますね。 C点のX座標はD点のX座標と同じになります。 C点のY座標はCDの長さ=BDの長さの関係から直ぐに求められます。 (2)ですが、-1<=k<=1の場合は簡単ですね。 PABは三角形、PA+PBが最小になる場合には、PABの面積も.... k>1 或いは k<-1 の場合に、PA+PBの長さが最小になる点を探す前に、PA+PBが一定になる点の軌跡を考えて見ます。 そうするとAB2点からの距離が一定の点が描く軌跡は楕円を描きます。 この楕円と直線y=-x+kの接点がPA+PBが最小になる点です。 k>1の場合、B点から直線に垂線を下ろした点をPとすると、BPDの直角三角形が出来ます。 これから点Pの座標は簡単に求められます。 以上のように図を描き、確認していくと分りやすいのではないでしょうか。 主に k>0の場合を考えましたが、k<0の場合も同様に簡単に求められます。 最終の回答は直接には示していませんが、後は容易に求められるので確かめて下さい。 (回答に図を付けたら更に分りやすいのでしょうが) それから質問のタイトルは、内容が分るようにして下さい。 ("直線に点対称な点の座標" 等)
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