ベクトル 内積の最小、最大

質問

数学の問題集、1対1の演習の問題ですが、よく分からないところがあるので質問させていただきました。

2点A(4,0),B(0,2)と円x^2+y^2=25上の点P(x,y)について、内積↑AP・↑BP
の最大値及び最小値を求めよ。

線分ABの中点(2,1)をMとすると、↑AP・↑BP=↑PA・↑PB=(|↑PA+↑PA|^2-|↑PA-↑PB|^2)÷4　とあるのですが、特に↑PA・↑PB=(|↑PA+……の変形が分かりません。

教えていただけないでしょうか。^2は2乗、↑はベクトル、|は絶対値です。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

＞　↑AP・↑BP=↑PA・↑PB=(|↑PA+↑PA|^2-|↑PA-↑PB|^2)÷4
は、打ち間違いで
↑PA・↑PB = ( |↑PA +↑PＢ|^2 - |↑PA -↑PB|^2 ) / 4
が正解ですよね？

一般的に、
| ↑a + ↑b |^2 = ( ↑a + ↑b ) ・ ( ↑a + ↑b )
　　　　　　　　= |↑a|^2 + |↑b|^2 + 2 ↑a ・ ↑b
| ↑a - ↑b |^2 = ( ↑a - ↑b ) ・ ( ↑a - ↑b )
　　　　　　　　= |↑a|^2 + |↑b|^2 - 2 ↑a ・ ↑b

∴
↑a ・ ↑b = ( | ↑a + ↑b |^2 - | ↑a - ↑b |^2 ) / 4

こんな関係があるんだ・・・という話です。↑a, ↑b を隣り合う辺とする平行四辺形の、対角線の長さの二乗の差の 1/4 なんですね。説明するとごちゃごちゃするけど。

お礼

ありがとうございます、分かりました。

回答No.1

koko_u_

>特に↑PA・↑PB=(|↑PA+……の変形が分かりません。
展開するだけ。