球面上の円弧の長さの比較

質問

高校数学の幾何の問題です。

　半径 R の球面で、半径が r となるような円を考えます。
http://www002.upp.so-net.ne.jp/hoshitosugaku/images/Enko002.jpg
　上図のA-B間の距離は
　(1)半径 r の円の円弧として考えれば πr = πRsinθ
　(2)A、Bを通る大円の円弧として考えれば 2Rθ

　∴(1)/(2) = πsinθ/2θ

　(1)と(2)ではどちらが大きいのか判断するにはどうしたらいいのでしょうか？

　球面上の2点間の最短距離は大円に沿った測地線という説明をネットで見たのですが、それならば

πsinθ > 2θ

となりそうですが、図を見る限り直感的には断定できません（笑）。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

（θと書くのが面倒くさいのでaと書くと）まあ色んな方法がありますが、よく知られた方法としては、

0<a<π/2の範囲で、sin(a)/aというのは、y=sin(x)のグラフを書いた時、原点とy=sin(x)上の点(a. sin(a))とを結んだ直線との傾き (1) を表すのはいいですか？
で、2 / π = 1 / (π/2)というのは、同様に原点と(π/2, 1）とを結んだ直線の傾き (2) です。

y=sin(x)のグラフを書けば明らかですが、(1)>(2)なので、 sin(a)/a > 2/π → πsin(a) > 2a （0<a<π/2）です。
まあ微分が使えるのなら、g(x)=(sin(x))/xの0<x<π/2の増減を正直に調べてみるといいです。

お礼

> y=sin(x)のグラフを書けば明らかですが、(1)>(2)なので、
> sin(a)/a > 2/π → πsin(a) > 2a （0<a<π/2）です。
　ああ！　そうですね。素早い回答誠にありがとうございました。