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球面上の円の面積

球面上の円の面積を求めようとして疑問に至りました。 ある緯度で円を描くときに、その緯度より北極側の面積を求めるとします。その答えが、私にとっては不思議なのですが、北極からその緯度上の一点への直線距離を半径とする、平面上の円の面積と同じになると知りました。 確かに全球ならば4πr^2で、北極から南極までの直線距離2rを半径とした円の面積と同じですし、半球なら2πr^2で、北極から赤道までの直線距離√2rを半径とした円の面積と同じです。 「なぜ」そうなるのか、求積法を教えていただけないでしょうか。積分を利用したものも知りたいのですが(文系出身なので積分知識が貧困なのです)、幾何的というのでしょうか、図形的な求め方に興味があります。直感的に理解できなくて悩んでいまして……。 直感的なというのは、例えば、平面上の円の面積を求める際には、多くの半径で円を刻んで交互に並べ替え、長方形にしてしまうというやり方を小学校で習いますが、ああいった理解の仕方を想定しています。 どうぞよろしくお願いします。 ※地図の作成で、正積方位図法を扱いまして、この疑問を持ちました。

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みんなの回答

  • 回答No.4

> いえ、「地球表面に沿って」ではなく、直線距離です。(そうでないと計算が合いません) ごめんなさい。元の記述を完全に読み違えていて、地球表面に沿った距離が半径だと思い込んでました。 それを正しいと思い込んだ上で、直感的なイメージでの説明を試みたのが#3の記述ですので、専門家からのつっこみどころか、質問者からの指摘で、合ってないことが明確になってしまいましたね。 失礼しました。

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  • 回答No.3

思いついた、直感的なイメージを書きます。 (合ってる保証はありませんが) 北極点で地球に接する平面を考え、対象とする部分の地球の表面をペリっとはがして、その平面に貼り付けることをイメージしてみます。 このとき、北極を中心とする同心円状に細かく切って(=細いドーナツ型がたくさんできる)、内側から順に、上の平面に貼っていくことを考えます。 そうすると、平面に円ができるわけですが、この円の半径は、北極からその緯度上の一点への地球上での距離と一致するとイメージできません? (ちなみに、質問にある「北極からその緯度上の一点への直線距離」は「地球表面に沿って」ということですよね。3次元で考えた直線距離だと、違うものになってしまいますので。) 答えになっているかどうかわかりませんが、思いついたものを書いてみました。間違ってたら、専門家の方からのつっこみをいただけたらと思います。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 > (ちなみに、質問にある「北極からその緯度上の一点への直線距離」は「地球表面に沿って」ということですよね。3次元で考えた直線距離だと、違うものになってしまいますので。) いえ、「地球表面に沿って」ではなく、直線距離です。(そうでないと計算が合いません) 同心円状にカットして貼りなおすといった操作は、直感的なイメージに合います。そういった視点で回答いただき、ありがたく思うのですが、ただ、傾斜の変化する曲面を貼りなおすのですから、本当にすきまなく、重ならずに貼れるものなのかが心配です。そうでないと面積が変わってしまいます。

  • 回答No.2
  • take008
  • ベストアンサー率46% (58/126)

球の中心をO,北極をNとし,NO上の点Aを通って直径に垂直な平面と球面との交円(緯線)上の1点をBとする。 a=NA,b=AB,r=ON=OB,x=NB とする。 b^2=r^2-(r-a)^2 x^2=a^2+b^2=2ar 球の切り口より北の部分の表面積をS1,NBを半径とする円の面積をS2,ついでに,半径r,高さaの円柱の側面積をS3とする。 目的:aをΔa=r/nだけ増やした時,S1,S2,S3それぞれの増分がほぼ等しい(n→∞ のとき 誤差→0)ことを示す。 S2=πx^2=2arπ ΔS2=2(a+Δa)rπ-2arπ=2πrΔa S3=2πra=S2 ΔS1は球面上の細い帯であるが,Bを通る緯線で接している円錐の裾で近似してよい。 すなわち,ONの延長上に頂点Pがあって,∠PBO=90゜となる円錐である。 △PBO∽△PAB∽△BAO だから母線PBの長さをLとすると L=r/b PA 円錐の側面の展開図は扇形で,半径がL,弧が2πbである。中心角をθ,面積をSとする。 2πb=Lθ, S=1/2L^2θ LがΔL増えると ΔS=1/2(L+ΔL)^2θ-1/2L^2θ=(LΔL+1/2ΔL^2)θ≒LΔLθ=2πbΔL ところで L=r/bPA より ΔL=r/bΔa ΔS1=ΔS=2πrΔa=ΔS2 証明終わり 考えていた時は直感的だと思ったのですが,実際に書いてみると,直感的とは言えないですね。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなり恐縮です。 球と同じ半径の円筒を、同じ高さで切っても、表面積が等しいんですね(S3)。なんだか中学校で習ったような既視感が現れてきましたが、S1の求め方は中学では習わないですよね。妙ですね。勘違いでしょうか。 質問させていただいた面積S2の求め方は、接する円錐面から計算するのですね。なるほどです。

  • 回答No.1
noname#25799
noname#25799

そんな式があるのですね。なるほどと思いました。 直径をR、北極点ー中心ーある緯度の一点のなす角をθAとします(Aは添え字)。また、軽度方向にφを設定します。 1.北極点を含む帽子型の面積は極座標というもので求められます。いい図がないかと探したところ下のURLのがいいかなと思います。これを使って S=∫∫R^2sinθdθ・dφ を求めます。ただしθは0からθAまで、φは0から2πまで。 結果は2πR^2(1-cosθA)となります。 2.ある緯度までの距離をaとすると a/2=Rsin(θ/2)です。(三角形を描くと分かると思います。) これよりa=2Rsin(θ/2) ここで三角公式を使ってsin(θ/2)=(1-cosθ)/2 代入してこれよりa^2=2R^2(1-cosθ)が出てきます。 1.2.を見比べてください。S=πa^2が出てきます。

参考URL:
http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/faraday.htm

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりました。 三角関数の積分に自信がないのですが(^^;、調べて計算して確かめてみます。

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