球面上に等間隔にある個数の点を配置した場合の間隔の求め方がわかりません

質問

こんにちは、
次の問題で困っています。
半径をrとしたある球面上に、ある個数（例えばa個）の点が、等間隔に配置されているとします。（ある点と隣接する点の距離が全て等しいとします）
そのときの点間の球面上の距離はどのようにもとめればいいのでしょうか？

回答No.2

debukuro

大円上に全周に亘って等間隔ということでお答えします
(π/a)*r　で求めることが出来ます
πは円周率

補足

ご回答有り難うございます。僕の質問があいまいだったため、おてすうかけてすみません。
さて、僕の勘違いかもしれませんが、平面上の円(半径r）を円周上に等間隔にa個をおけば、2πr/a で求まるということでしょうか？
問題は、説明が下手なのですが、イメージとしては、半径rの球の形をしたウニがいて、そのウニにはa個の針がついています。 隣接する針間の距離を求めなさいというものです。ただし、針の高さは、０として、針の根本（ウニの球面上にある）と隣接する針の根本間の距離を求めるものです。また、その針がウニの球面上にどこに配置されているかについて、偏りがなく、すべて等間隔だとします。わかりにくくてすみません。

回答No.1

liar_adan

よく意味がわからないが、気になる問題ですね…。

この場合の「隣接する」の定義は何でしょうか。
「最も近い別の点」ということになるでしょうか。

また「等間隔に配置」とはどういう意味でしょうか。
たとえば、8つの点があるとします。
これを、赤道上に等間隔に8個並べても、条件には合っているような気がします。
ただし、球面の上に8個の点を並べるなら、
立方体の頂点となるように並べる方が、点と点との距離は遠くなると思います。

8個ならまだいいです。これが7個だったら。
立方体の頂点のように、キレイに並べる方法が用意されていません。
厳密に考えると、点の数が「半正多面体の頂点の数」に等しい時だけ
しか明確な回答が無いような気がします。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93

別の角度から考えてみます。
「隣接する」の意味を、上記のように「最も近い点」とし、
点間の距離をLとします。
すると、点を中心にして半径L/2の円を(球面上に)描いたとき、
その円はおたがいに重なり合うことがありません。
このとき、条件に合うように点を配置すれば、以下の式が成り立ちます。

(点の個数)×(半径L/2の円の球面上の面積) ＜ (球の表面積)

すみませんが、「球面状の円の面積」の公式がわかりませんので
上記の式を展開することができません。
ただ不等式としては成り立つと思いますので、これを解けばLの最大値が
でると思います。
ただ、「その最大値で実際に配置が可能か？」は別問題です。
おそらくこっちの方が難しいと思います。

お礼

ご回答有り難うございます。
質問があいまいで申し訳ないです。問題を訂正します。ある球があり、その球にa個の物質を付着させます。その時の、球面上に付着した、ある物質と近傍にある（曖昧かも知れませんが）物質との距離の平均を求めるものです。

確かに、ご指摘の通り、a個の数によっては、等間隔にならべることには無理があり、「点の数が「半正多面体の頂点の数」に等しい時だけ」というご指摘は全くその通りだとおもいます。

また、
>> (点の個数)×(半径L/2の円の球面上の面積) ＜ (球の表面積)
非常におもしろいアプローチだとおもいます。
できるかどうかわかりませんが、もうすこし考えてみたいと思います。

ご回答ありがとうございました。