三次元球面について教えてください。

質問

二次元球面を地球の表面とすると、赤道は大円にあたります。その赤道の線上のどの点からも同じ距離にある点が2ヶ所あります。それは、北極と南極です。

三次元球面では、ある点からどの方向に真っ直ぐ進んでも、元の場所に戻ってきます。これは、大円といっていいのでしょうか。いいとして、ある大円にとって、北極や南極のような点はいくつありますか。無限でしょうか。なぜ、無限と思ったかというと、二次元球面では、赤道道上で赤道の方向をみたとき、右側に北極があれば左側に南極があります。しかし、三次元球面では、大円上で大円の方向を見たら、左右だけでなく、上下、斜めと無限に方向があるからです。

三次元球面において、大円上のすべての点から等距離にある点は、無限個あるのでしょうか。

その他、三次元球面では、こんな面白い特徴があるぞ、というのがあったら、教えてください。

回答No.5

tgb

私の勘違いで混乱を招いてしまったようです。

　前々回の回答においては私の大円・赤道の解釈が質問者さんの考えているものとかけ離れてしまっていたため、ピント外れの回答になってしまいました。
＃本来の(質問者さんの考えた)大円・赤道は閉じた1次元の線
でした。これに対して私の考えた大円・赤道は
＃3次元球面を3次元平面で切った場合の切り口(2次元の広がりを持つ曲面、はっきり言えば2次元球面)
でした。但し、2回目の回答は本来の定義に基づいています。この2つの違いに注目することなく矛盾点を解消しようとすると大変な労力を強いることになると思います。本当に申し訳ありませんでした。
　そういうわけで前々回の回答は無視していただけたらと思います。

　改めて本来の正しい定義に基づけば、計算手順は同じような形で進めることができるので省略して結果を示すと、
3次元球面：
　x^2+y^2+z^2+w^2=R^2
大円：
　x^2+y^2=R^2　(x^2+y^2+z^2+w^2=R^2においてz=0,w=0を代入)
　z=0
　w=0
　　※大円が線であることを考慮して今回z=0の条件を式(1)、(2)に追加
に対して、大円と等しい距離にある点は
　z^2+w^2=R^2
　x=0
　y=0　
上の点となります。この解は一般的なものです(座標系を適当に選択すれば全てこの形になる)。
従って等距離になる点は無限に存在することになります。
　指定された大円に対してその大円の全ての点から等距離にある点の集合も元の三次元球面の中の大円になるというのに加えて2つの大円を入れ替えても同じ関係が成立すると言うのは興味ある点ですね。

回答No.4

tgb

結論から言うと、1つの赤道を共通に持つ二次元球面が無限に作れるというのは正しいようです。
　ただ、二次元球面を複数作る際にそれらの二次元球面が元の赤道を共有していることの保証についての考察が抜けているように思います。

　以下、簡単にこれを考慮して説明してみます。

　特定の大円を含む3次元球(＝2次元球面)はその大円に対して中心半径が一致したものとなるので3次元上で考えると1つに決まりますが3次元球面上で考えた場合には大円を含む3次元球(＝2次元球面)の存在を4次元空間内で考える必要があるので、これにより複数(無限に)存在することになります。

　3次元球面を
　x^2+y^2+z^2+w^2=R^2　(1)
　大円を
　x^2+y^2=R^2 (2a)
　z=0 (2b)
　w=0 (2c)
とします。
3次元球面の中心を原点にとり半径をRとして大円が張る面がxy面になるように選んだと言うことです。
この円が3次元球面上にあり、円と3次元球面が半径と中心(=原点においてあります)を共有していることは明らかです。
従ってこの円が3次元球面の大円であることも保証されています。
　この大円を(自身の大円として)含む3次元球(＝2次元球面)を考えます。これの存在する3次元空間をxyp座標で考えます。当然p軸はxy軸に直交しています。
p軸が4次元空間内で方向を変えることにより、条件を満足する複数の3次元球を考えることができるようになるわけです。
このxyp空間上の3次元球は
　x^2+y^2+p^2=R^2 (3)
で表せます。この3次元球が上述の大円を自身の大円として含むことは明らか(p=0を代入)です。
そこで、p軸をzw軸と関連付けて明確にするために、
一般に任意の角θに対して
　z=pcosθ,w=psinθ (4)
とすればzw面上でθだけ傾いた軸をp軸としたことになります。
式(4)を考慮した上で式(3)を満たすように座標値xyzwを決めてやると
この点は(3)を満たすと同時に(1)も満たします。つまり、式(3)の3次元球は式(1)の3次元球面上にあります。
同時に式(3)でp=0を代入すれば大円の式(2)を満たすので、(3)の3次元球は式(2)の大円を含むことになります。
従って、θを変えることにより(3)で異なる3次元球を作っても常に(2)の大円が含まれることが保証されます。
　以上により、3次元球面上の1つの大円に対してこれを自身の大円として含む3次元曲面上の3次元球(2次元曲面)が無限に存在することが示されたことになります。

補足

詳しく検証していただきありがとうございます。

＞3次元球面上の1つの大円に対してこれを自身の大円として含む3次元曲面上の3次元球(2次元曲面)が無限に存在することが示されたことになります。

そうなると、ひとつの赤道にとって北極にあたる点はあらゆる方向に無限にあるということですか。つまり、質問にあるように、大円上の全ての点から等距離にある点は、無限にあるということですか。

回答No.3

tgb

3次元球面は一般には4次元球の表面として捉えられると思います。
この表面は4次元空間全体を4次元球の内側と外側とに分ける境界面になっています。

　球面(2次元球面)を平面(2次元平面)で切断する場合にできる切り口が円になることから類推できるように、3次元球面も3次元平面で切断することによりその切り口として、2次元球面が形成され、4次元球の中心を通る3次元平面で切断する場合に切り口の2次元球面は最大の半径(4次元球の半径に一致)となりますこれが大円(大球？)となります。

　座標xyzwを考えて、3次元球面は
　x^2+y^2+z^2+w^2=R^2
であらわせます。w=w1,w2,･･･の各3次元平面で切断することを考えると、
w=-R、w=Rで切断する場合が最小の球面(半径=0)
W=0で切断する場合が最大の球面(半径=R):大円
となります。
　地球との関係で言えば
w=w1,w2,･･･の各3次元平面での切断による切り口(2次元球面)は緯度線(宇宙では緯度面？、緯度球面？)
w=-Rの点(0,0,0,-R)が南極
w= Rの点(0,0,0,　R)が北極
になります。

　4次元球面上の特定の点P(x1,y1,z1,w1)と
大円：
　x^2+y^2+z^2=R^2　(x^2+y^2+z^2+w^2=R^2においてw=0を代入)
　w=0
上の全ての点との距離が等しくなるようなP
は何個あるか？
が問題になりますが、結論としては2次元球面の場合と同じで2個(南極点と北極点)になります。
　求め方の手順としては、先ず大円上の異なる4点を適当に(任意に選べますが計算が簡単になるように)選んで全てPとの間の距離が一定値l0に等しいと言う4条件と点Pが3次元球面上にあるという1条件の合計5条件を与え、未知数としては点Pの4つの座標値と等距離の値(l0)として、5未知数で5元連立方程式を作ってこれを解くだけです。あとは求まった点Pが大円上の全ての点から等しい距離にあることを示すだけです(証明は簡単です)。
　4点としては座標軸と大円との交点を選べば計算が楽になります。

　点Pを3次元球面上に限定しなければ南極点と北極点を結ぶ軸上の任意の点にとることができて、対称性からPが大円上の全ての点と等距離にあることが即理解できると思います。

　この宇宙が3次元球面だとし、更に我々の位置を宇宙の南極点Sとした場合
Sからの最遠点が北極点Nとなります。
Sを中心とした球面(2次元球面)を考え、この半径を徐々に大きくしていく時、各球面は地球の場合の緯度線に相当し、半径がNまでの中間点に達したときに球面は最大になり、その後は縮小していきます。球面が最大になった時点でこの球面(大円)は宇宙に沿って平らになります。即ち、この大円上の任意の2点を取って一方から他方に光を当てた場合に光はこの球面(大円)から離れることなく他方の点に到達します。大円でない場合にはこのことは成立しません。地球との関連で言えば、緯度線上の任意の2点を紐で結んで引っ張ったときに、緯度線が赤道に一致するときだけ紐が緯度線からずれずにピンと張れることに対応します。(この際、地軸の傾きは無視しています)
　点Sと大円の任意の点を結ぶとき距離が一定値になることは当然のこととして理解できると思います。同時にSからずれた点S'をどのように選んでも大円までの距離が常に一定値にはなり得ないことも明らかだと思います。これが大円上の点との距離が一定になるような3次元球面上の点が2点しかなく、無限ではないことの直感的な理解です。
※球面が最大というのは正確には球面の表面積と言うべきでしょう。半径を大きくしてゆくと球面の表面積は増加・縮小のプロセスをたどりますがその球の体積は単純に増加します。

補足

詳しい解説ありがとうございます。

たぶん、間違っているとは思いますが、まだ、直感的に変に思うことがあります。それは。

三次元球面をある点から任意の方向に「真っ直ぐいく」と、もとの位置に戻ってきます。今選んだ方向の線を赤道と言うことにします。赤道は四次元のユークリッド的な視点からみると円ですよね。それは、おいといて、この赤道を大円として持つ二次元球面は三次元球面の中に無限に作れるような気がします。今、赤道上で、赤道が伸びている方向をみたとき、そこから右にずっといけぱ、北極に達する二次元球面が作れます。上にずっといけば北極点に達する二次元球面も作れます。右と上の中間である45度の方向にも二次元球面が作れます。このように0～360°のすべての方向に赤道を共通に持つ二次元球面が無限に作れそうな気がします。

どこか間違っているでしょうか。

回答No.2

tmppassenger

16進数での表示であれば、πの任意の桁目を直接計算する方法は1995年に既に発見されています (BBP forumula)

回答No.1

Nakay702

以下のとおりお答えします。

＞三次元球面において、大円上のすべての点から等距離にある点は、無限個あるのでしょうか。
⇒完全球面においては、大円上のすべての点から等距離にある点は、無限個あると言えるでしょう。しかし、例えば地球は、赤道面が少し膨らんでいますので、地球面においてはそれが無限個あると言えないかも知れません。

＞その他、三次元球面では、こんな面白い特徴があるぞ、というのがあったら、教えてください。
⇒三次元球面、あるいは円や球をめぐる永遠の謎（の根本）は、「円周率」関連の問題だと思います。円周率すなわち、πの表す数値は、①円周の長さとその直径との比、②円の面積と半径の平方との比、の2つがありますが、いずれの数値も同じ「非循環無限小数」ですね。東大や京大の先生がスパコンを使って、小数点以下を兆の位まで計算したことがありましたが、どこまで行っても非循環無限小数であることには変わりませんね。
そこで私は、せめて「小数点以下について第N位までを計算できる方程式」のようなものができないものかと、大いなる関心を持っていますが、できないようですね。できても、最初から微積分法で計算するのと大して変わらないような複雑なものになる可能性が大きいようで…。