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量子力学の質問です。
heboiboroの回答
- heboiboro
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エイチバーが出せないので、以下で単にhと書いたらエイチバーのことだと思ってください。 【1】 たとえば、時間に依存しないシュレーディンガー方程式 -h^2/2m d^2Ψ(x)/dx^2 + V(x)Ψ(x) = EΨ(x) の両辺を見比べてやると、量子力学でもV(x)はEと同じ次元であることが分かります。 よってポテンシャルは(具体形に関わらず)エネルギーの次元を持ちます。たとえデルタ関数が出てこようと同じです。MKSではJ(ジュール)です。 <0|[a†,a]|0>については、この単位は<0|a†a|0>と同じですね。 ところでハミルトニアンH=hω(a†a+1/2)で、<0|H|0>はエネルギーの次元を持ち、またhωもエネルギーの次元を持ちますから、<0|a†a|0>は無次元(単位なし)であることが分かります。 【2】 生成消滅演算子を使うと、xやpやその累乗の期待値が比較的簡単に出せます。 まず、a†やaはxやpの一次結合で表せましたね。ということは、逆にxやpをa†やaの一次結合で表せます。 ということは、x^4などもa†とaの多項式で表せるということです。 ということは、<n|x^4|n>が<n|a^4|n>や<n|a†a^3>などなどの和で表せるということです。 これらは、a†|n> = √(n+1)|n+1>, a|n> = √n|n-1>という式を使えば簡単に計算できます。(ついでに言えば <n|a†|n>=(<n|a|n>)*(←複素共役)などを使えばさらに計算量は減ります) こうして求めたそれを使えば<x^4>などを比較的簡単に計算できます。
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