量子力学（変分法）

質問

いつもお世話になっております。

２次元または３次元上で、原点に固定された電荷e（＞０）の点電荷に束縛されている電子の基底状態を変分法で調べようという問題です。点電荷から電子までの距離をｒとし、ハミルトニアンを
　　　　　H = - h^2/2m ∇^2 - e^2/( 4πε_0 r ) ；見にくくてすみません
とします。hはプランク定数を2πで割ったもの（エイチバー）とします。試行（変分波動）関数として
　　　　　Ψ(r) = N exp (-αr)
を採用するものとし、αを変分パラメータ、Nを規格化定数とします。

●３次元の場合は、計算が間違えているかもしれませんがエネルギー期待値はh^2/2m　となりました。

●２次元の場合。
　Hの期待値を計算したところ（2\pi * \int_{0}^{\infty} Ψ^{*}HΨ r dr ）
＜H＞　＝　2\pi N^2 (h^2/8m - e^2/ (8\piε_0 \alpha) )
となって、これをαで偏微分しても＜H＞を最小にするような\alpha　は出てこない気がするのですが・・・・どうすればいいのでしょうか？なお、
　　　　　∇^2 f(r) = f ' '(r) + 2/r * f ' (r)
であることを利用しました。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>３次元の場合
次元がエネルギーじゃない時点で明らかにおかしいですよね。。。
また、変分法とは関係なく、水素原子では基底状態がいくらになるかは知っていますか？

>2次元の場合
Nがαに依存する事は認識した上で、最小になるαが出てこないと言っているのでしょうか？

お礼

ありがとうございました。なんか補足になってしまいますが、この場合、波動関数の広がりに関して２次元と３次元の違いって何でしょう？

補足

先に規格化定数をαの関数として表すべきでしたね・・・・解決しました。

回答No.2

eatern27

あ、気付いてませんでしたが、
>∇^2 f(r) = f ' '(r) + 2/r * f ' (r)
これって3次元の時の結果では？

>波動関数の広がりに関して２次元と３次元の違いって何でしょう？
えっと、何を答えればいいのかよく分かってないのですが、
z方向にも波動関数が広がってるかどうか、という答えで良いのですかね？

お礼

返信がものすごく遅くなりましたお詫びします。ラプラシアンについては2次元の結果を書こうとして3次元の時の結果を書いてしまいました。登校した時に気付いたのですが、まっいいかってことでほったらかしです申し訳ないです。