微分方程式について

質問

ω1、ω2、cを定数として次の方程式を考える。

θ1(t)d/dt = ω1 + csin(θ2(t) - θ1(t))
θ2(t)d/dt = ω2 + csin(θ1(t) - θ2(t))

θ(t) = θ1(t) -θ2(t), ω = ω1 - ω2　とおき、

θ(t)d/dt = f(θ(t))　の形に変形するとどうなるか？
その平衡点を求め、線形化解析により　lim θ(t) = 定数　が成立するかを調べよ。

詳しい方、よろしくお願いします。

回答No.2

Knotopolog

与式：

θ1(t)d/dt ＝ ω1 ＋ csin(θ2(t) － θ1(t))
θ2(t)d/dt ＝ ω2 ＋ csin(θ1(t) － θ2(t))

に対して，辺々，差を取ると，

θ1(t)d/dt － θ2(t)d/dt ＝
＝ ω1－ω2＋csin(θ2(t)－θ1(t))－csin(θ1(t)－θ2(t))

となります．ここで，

θ(t) ＝ θ1(t) － θ2(t),　 ω = ω1 － ω2　

を使って変形すると，

θ1(t)d/dt － θ2(t)d/dt ＝ ω ＋ csin(－θ(t))－ csin(θ(t))
θ1(t)d/dt － θ2(t)d/dt ＝ ω － csin(θ(t))－ csin(θ(t))
θ1(t)d/dt － θ2(t)d/dt ＝ ω － 2csin(θ(t))
d[θ1(t) － θ2(t)]/dt ＝ ω － 2csin(θ(t))

dθ(t)/dt ＝ω－2c*sin(θ(t))

が得られます．この式は，１階非線形常微分方程式です．
Ａを積分定数として，積分すると，

∫{1/[ω－2c*sin(θ(t))]} dθ(t)＝ t ＋ Ａ

となります．左辺の積分 ∫{1/[ω－2c*sin(θ(t))]} dθ(t)　は，
ω と c が具体的に与えられないと積分できないような気がします．

回答No.1

Knotopolog

誰も答えないようなので，回答してみます．

一般に，sin(－α) ＝ －sin(α) なので，これを使って与式を変形すると

θ1(t)d/dt ＝ ω1 － csin(θ1(t) － θ2(t))
θ2(t)d/dt ＝ ω2 ＋ csin(θ1(t) － θ2(t))

辺々加えると，

θ1(t)d/dt ＋ θ2(t)d/dt ＝ ω1 ＋ ω2

積分定数をＡとして，この式の両辺を t で積分すると，

θ1(t) ＋ θ2(t) ＝ (ω1 ＋ ω2)t ＋ Ａ

を得ます．
この後は，必要な数式の処理，または，式の変形をして下さい．