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微分方程式をつかった問題なのですが…

次の強制振動の時間が十分経過したときの解xをx=Acos(ω₀t-δ)とし、このxを下記の微分方程式に代入することによって、振幅Aと位相のずれδを求めよ。 ただし、ω、ω₀、γはすべて正の値として扱ってよい。 d^2x/dt^2 + 2γdx/dt + ω^2x = f₀cosω₀t 詳しい解説、解答、よろしくおねがいします。

みんなの回答

回答No.1

複素振幅の方法を使います.y=Asin(ω₀t-δ)を考え, (☆)z=x+iy=A{cos(ω₀t-δ)+isin(ω₀t-δ)} =Ae^{i(ω₀t-δ)}=Ae^{-iδ}e^{iω₀t} とおきます.そして,微分方程式 (★)d^2z/dt^2 + 2γdz/dt + ω^2z = f₀e^{iω₀t} の解はzであるとします.それを求め実部xをとれば求まります. さて,☆を★に代入すると {(iω₀)^2+2γiω₀+ω^2}Ae^{-iδ}e^{iω₀t}= f₀e^{iω₀t} 因子e^{iω₀t}を落として, (ω^2-ω₀^2+2γiω₀)Ae^{-iδ}= f₀ (ω^2-ω₀^2+2γiω₀)A= f₀e^{iδ} ここで左辺の複素数 ω^2-ω₀^2+2γiω₀=i{2γω₀+i(ω₀^2-ω^2)}の絶対値をa,偏角(位相)をθ+π/2とすると, a=√{(ω^2-ω₀^2)^2+4γ^2ω₀^2} tanθ=(ω₀^2-ω^2)/(2γω₀)(-π/2<θ<π/2) A=f₀/a=f₀/√{(ω^2-ω₀^2)^2+4γ^2ω₀^2} δ=θ+π/2=Arctan{(ω₀^2-ω^2)/(2γω₀)}+π/2 ※δはarctan{(2γω₀)/(ω^2-ω₀^2)}としてもよいですが,その場合ωとω₀の大小によって多価関数arctanの適当な枝をとらねばならないので主値Arctanが使える表現にしました.

yuuya25
質問者

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

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