非斉次な2階の線形微分方程式

質問

fを実数として、非斉次な2階の線形微分方程式を積分定数を用いて解け。(xはtの関数）
(d^2x/dt^2)+9x=fe^(2it)

x=Ae^(2it)とすると、
A=f/5

ここからどうすればよいかわかりません。
詳しい解説お願いします。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

この問題は、特殊解をx = Ae^(2it)と予想して、解けというのでしょう。

d^2x/dt^2 = (2i)^2・Ae^(2it) = -4Ae^(2it)
∴ d^2x/dt^2 + 9x = -4Ae^(2it) + 9Ae^(2it) = 5Ae^(2it) = fA^(2it)
A = f/5

d^2x/dt^2 + 9x = 0
の解は
x = c1e^(3it) + c2e^(-3it)

よって、
求める解は
x = c1e^(3it) + c2e^(-3it) + (f/5)・e^(2it)

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.1

spring135

演算子法により

D＝d/dtとおくと

(D^2+9)x=fe^(2it)

斉次微分方程式の一般解x1は

(D^2+9)x1=0

D=±3i

x1=ae^(-3it)+be^(3it)

非斉次微分方程式の特殊解x2は

(D^2+9)x2=fe^(2it)

x2=[1/(D^2+9)]fe^(2it)=[1/((2i)^2+9)]fe^(2it)=fe^(2it)/5

非斉次微分方程式の一般解xは

x=x1+x2=ae^(-3it)+be^(3it)+fe^(2it)/5

お礼

詳しい解説ありがとうございます。