微分方程式の求め方について

質問

はじめまして、微分方程式の解き方がわからず困っております。
問題は以下となります。

dΔf/dt=-5Δf-0.5　から
Δf(t=0)=0として上記の微分方程式を解くと以下の式になる

Δf(t)=-0.1{1-exp(-t/0.2)}

このΔf(t)=-0.1{1-exp(-t/0.2)}がどうやって導いたのかがわからないです。
（ラプラス変換でも解けるみたいですが・・・）

ご教授のほどお願いいたします。

回答No.1

k3eric · ベストアンサー

（△f = g として）
　　(dg/dt) = -5g - 0.5t = -5(g + 0.1)
　　{1/(g+0.1)}dg = -5dt
　　{(g+0.1)'/(g-0.1)}dg = -5dt
（積分して）
　　log( g+0.1 ) = -5t + C'
　　g+0.1 = exp(-5t+C') = C・exp(-5t) [ここでC=exp(C')]
（t=0を代入して）
　　g(0)+0.1 = C
　　∴C = 0.1　[∵g(0)=Δf(0)=0]
　　g = -0.1 + 0.1・exp(-5t) = -0.1{ 1-exp(-5t) }
　　∴g = -0.1{ 1-exp(-t/0.2)}　[∵5 = 1/0.2]
（なので）
　　∴Δf = -0.1{ 1-exp(-t/0.2) }

お礼

返信が遅くなり申し訳ありません。

k3ericさんの方法で微分方程式の解き方を理解することができました。

ご解答ありがとうございました！

回答No.3

ereserve67

ラプラス変換で解きましょう．公式

L{f}(s)=∫_0^∞f(t)e^{-st}dtのとき

（★）L{df/dt}(s)=sL{f}(s)-f(+0)

を確認します．

微分方程式のラプラス変換

L{d⊿f/dt}(s)=-5L{⊿f}(s)-0.5/s

において左辺に公式★を使うと

sL{⊿f}(s)=-5L{⊿f}(s)-0.5/s

(s+5)L{⊿f}(s)=-0.5/s

L{⊿f}(s)=-0.5/{s(s+5)}=-0.1{(s+5)-s}/{s(s+5)}=-0.1{1/s-1/(s+5)}

よって

⊿f(t)=-0.1(1-e^{-5t})=-0.1(1-e^{-t/0.2})

こちらが簡単ですね．

Heavisideに倣ってエンジニアはどんどん使いましょう．

お礼

返信が遅くなり申し訳ありません。

ラプラス変換ではこのように解けるのですね！
ラプラス変換を使いこなせるようにもっと勉強していきたいと思います。

ご解答ありがとうございました！

回答No.2

ereserve67

d⊿f(t)/dt=-5⊿f(t)-0.5=-5(⊿f(t)+0.1)

において

⊿f(t)+0.1=g(t)

とおきます．両辺を微分するとd⊿f(t)/dt=dg(t)/dtなので

dg(t)/dt=-5g(t), g(0)=⊿f(0)+0.1=0.1

解は

g(t)=g(0)e^{-5t}={⊿f(0)+0.1}e^{-5t}=0.1e^{-5t}

となります．もとにもどすと，

⊿f(t)=g(t)-0.1=0.1(e^{-5t}-1)=-0.1(1-e^{-t/0.2})

となります．

お礼

返信が遅くなり申し訳ありません。

無事理解することができました。

ご解答ありがとうございました！