微分方程式の解の導出過程がわかりません。tの関数F(t)の微分方程式

質問

微分方程式の解の導出過程がわかりません。tの関数F(t)の微分方程式 dF/dt=p+(q-p)F-qF^2 を初期条件F(0)=0で解くと、F(t)=[1-exp{-(p+q)t}]/[1+(q/p)exp{-(p+q)t}]となるようですが、その導出過程がよく分かりません。どなたか回答いただければ、幸いです。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

dF/dt＝p＋(q－p)F－qF^2
を変形すると，

dF/dt＝(1－F)(p＋qF)
dF/[(1－F)(p＋qF)]＝dt

1/[(1－F)(p＋qF)] を部分分数に変形すると，

1/[(1－F)(p＋qF)] ＝ (1/(p＋q))・[1/(1－F) ＋ q/(p＋qF)]

これを微分方程式に戻す．

(1/(p＋q))・[1/(1－F) ＋ q/(p＋qF)]dF＝dt

積分定数を C として，積分すると

∫(1/(p＋q))・[1/(1－F) ＋ q/(p＋qF)]dF＝t＋C
(1/(p＋q))・∫[1/(1－F) ＋ q/(p＋qF)]dF＝t＋C
(1/(p＋q))・[∫1/(1－F) dF＋ ∫q/(p＋qF)dF]＝t＋C
(1/(p＋q))・[－ln(1－F) ＋ ln(p＋qF)]＝t＋C　　　　　ln(　) は自然対数
(1/(p＋q))・ln{(p＋qF)/(1－F)}＝t＋C
ln{(p＋qF)/(1－F)}＝(p＋q)(t＋C)

(p＋qF)/(1－F)＝exp[(p＋q)(t＋C)]

この式が一般解です．初期条件 F(0)＝0 により

(p＋q・0)/(1－0)＝exp[(p＋q)(0＋C)]
p＝exp[(p＋q)C]
ln(p)＝(p＋q)C

C＝[ln(p)]/(p＋q)

この積分定数 C を微分方程式に入れて式を整理する．

p＋qF＝(1－F)exp[(p＋q)(t＋[ln(p)]/(p＋q))]

p＋qF＝(1－F)exp[(p＋q)t＋ln(p)]
p＋qF＝(1－F)exp[(p＋q)t]・exp[ln(p)]
p＋qF＝p(1－F)exp[(p＋q)t]
p＋qF＝p・exp[(p＋q)t]－pF・exp[(p＋q)t]
qF＋pF・exp[(p＋q)t]＝p・exp[(p＋q)t]－p
F・{q＋p・exp[(p＋q)t]}＝p{exp[(p＋q)t]－1}

F＝p{exp[(p＋q)t]－1}/{q＋p・exp[(p＋q)t]}

この式が解です．質問に記述されていた式：

F(t)＝[1－exp{－(p＋q)t}]/[1＋(q/p)exp{－(p＋q)t}]

の右辺の分数の分子分母に　p・exp[(p＋q)t]　を乗ずると，

F＝p{exp[(p＋q)t]－1}/{q＋p・exp[(p＋q)t]}
になります．

お礼

回答ありがとうございました。助かりました。

回答No.1

alice_44

変数分離型だし、特に
dt/dF = 1/((1-F)(p+qF))
であることから、
右辺を部分分数分解して
F で積分すれば、簡単でしょう。
最後に、逆関数をもとめればオシマイ。