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微分方程式の解の導出過程がわかりません。tの関数F(t)の微分方程式

微分方程式の解の導出過程がわかりません。tの関数F(t)の微分方程式 dF/dt=p+(q-p)F-qF^2 を初期条件F(0)=0で解くと、F(t)=[1-exp{-(p+q)t}]/[1+(q/p)exp{-(p+q)t}]となるようですが、その導出過程がよく分かりません。どなたか回答いただければ、幸いです。

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  • Knotopolog
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回答No.2

dF/dt=p+(q-p)F-qF^2 を変形すると, dF/dt=(1-F)(p+qF) dF/[(1-F)(p+qF)]=dt 1/[(1-F)(p+qF)] を部分分数に変形すると, 1/[(1-F)(p+qF)] = (1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)] これを微分方程式に戻す. (1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=dt 積分定数を C として,積分すると ∫(1/(p+q))・[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C (1/(p+q))・∫[1/(1-F) + q/(p+qF)]dF=t+C (1/(p+q))・[∫1/(1-F) dF+ ∫q/(p+qF)dF]=t+C (1/(p+q))・[-ln(1-F) + ln(p+qF)]=t+C     ln( ) は自然対数 (1/(p+q))・ln{(p+qF)/(1-F)}=t+C ln{(p+qF)/(1-F)}=(p+q)(t+C) (p+qF)/(1-F)=exp[(p+q)(t+C)] この式が一般解です.初期条件 F(0)=0 により (p+q・0)/(1-0)=exp[(p+q)(0+C)] p=exp[(p+q)C] ln(p)=(p+q)C C=[ln(p)]/(p+q) この積分定数 C を微分方程式に入れて式を整理する. p+qF=(1-F)exp[(p+q)(t+[ln(p)]/(p+q))] p+qF=(1-F)exp[(p+q)t+ln(p)] p+qF=(1-F)exp[(p+q)t]・exp[ln(p)] p+qF=p(1-F)exp[(p+q)t] p+qF=p・exp[(p+q)t]-pF・exp[(p+q)t] qF+pF・exp[(p+q)t]=p・exp[(p+q)t]-p F・{q+p・exp[(p+q)t]}=p{exp[(p+q)t]-1} F=p{exp[(p+q)t]-1}/{q+p・exp[(p+q)t]} この式が解です.質問に記述されていた式: F(t)=[1-exp{-(p+q)t}]/[1+(q/p)exp{-(p+q)t}] の右辺の分数の分子分母に p・exp[(p+q)t] を乗ずると, F=p{exp[(p+q)t]-1}/{q+p・exp[(p+q)t]} になります.

multisharpener
質問者

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回答ありがとうございました。助かりました。

その他の回答 (1)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.1

変数分離型だし、特に dt/dF = 1/((1-F)(p+qF)) であることから、 右辺を部分分数分解して F で積分すれば、簡単でしょう。 最後に、逆関数をもとめればオシマイ。

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