１階線形微分方程式の解

質問

RC回路(ローパスフィルタ)への入力電圧をVi(t)、
出力電圧をVo(t)とすると
微分方程式は

dVo(t)/dt = -Vo(t)/RC + Vi(t)/RC

になりますが、
t=t0のときの初期状態Vo(t0)を満たす解は

Vo(t) = Vo(t0)*exp{-(t-t0)/RC} + (1/RC)∫[t0,t] Vi(t')*exp{-(t-t')/RC} dt'

となるらしいのですが、どのように導けばよいのでしょうか？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

（☆）dVo(t)/dt +Vo(t)/(RC)=Vi(t)/(RC)

と書き直します．これは非同次形といいます．この同次形

（★）dVo(t)/dt +Vo(t)/(RC)=0

をまず解きます．一般にdy/dt+ky=0の解がy=Ae^{-kt}（Aは定数）であることはよいですね．実際

dy/dt=Ae^{-kt}(-k)=-ky

となります．したがって同次形★の解は

Vo=Ae^{-t/(RC)}

となります．この定数Aをtの関数A(t)に置き換えたものが非同次形☆の解であるようにします（定数変化法）．

(1)Vo(t)=A(t)e^{-t/(RC)}

dVo/dt=(dA/dt)e^{-t/(RC)}+Ae^{-t/(RC)}(-1/(RC))
=(dA/dt)e^{-t/(RC)}-Vo/(RC)

を☆に代入すると

(dA/dt)e^{-t/(RC)}-Vo/(RC)+Vo/(RC)=Vi(t)/(RC)

dA/dt=Vi(t)e^{t/(RC)}/(RC)

これをt0～tで積分すると

A(t)-A(t0)=(1/(RC))∫[t0,t]Vi(t')e^{t'/(RC)}dt'

A(t)=A(t0)+(1/(RC))∫[t0,t]Vi(t')e^{t'/(RC)}dt'

ここで(1)においてt=t0とすると

Vo(t0)=A(t0)e^{-t0/(RC)}∴A(t0)=Vo(t0)e^{t0/(RC)}

であるから

A(t)=Vo(t0)e^{t0/(RC)}+(1/(RC))∫[t0,t]Vi(t')e^{t'/(RC)}dt'

と求まります．これを(1)に代入して

Vo(t)=[Vo(t0)e^{t0/(RC)}+(1/(RC))∫[t0,t]Vi(t')e^{t'/(RC)}dt']e^{-t/(RC)}

=Vo(t0)e^{-(t-t0)/(RC)}+(1/(RC))∫[t0,t]Vi(t')e^{-(t-t')/(RC)}dt'

となるわけです．

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
初歩的な質問ですが、なぜ積分時にt→t′に置き換わるのか
教えていただけないでしょうか？

回答No.3

178-tall

>t=t0のときの初期状態Vo(t0)を満たす解は Vo(t) = Vo(t0)*exp{-(t-t0)/RC} + (1/RC)∫[t0,t] Vi(t')*exp{-(t-t')/RC} dt' となるらしい

これを眺めてしまうと「定数変化」のほうへ引きずられてしまう。
この程度なら「変数分離」で解けそうですが、別の問題になるのでしようけど…。

>なぜ積分時にt→t′に置き換わるのか…

　Vo(t) = e^A(t)*[C + ∫{e^{-A(t)}*Vi(t)/{RC} dt ]
に初期条件「t=t0 にて Vo(t0) 」を付与すると？
　Vo(t0) = Ce^A(t0)
　C = Vo(t0)e^{-A(t0)}
だから、
　Vo(t) = Vo(t0)e^{A(t)-A(t0)} + e^A(t)*∫{e^{-A(t)}*Vi(t)/{RC} dt]
なのですが、ここで e^A(t) を ∫ の中へ引きずり込んでます。
積分変数と紛れぬよう積分のほうを ∫{xx}dt' と書き換えているのでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございました。
疑問が解決できました。

回答No.2

178-tall

dVo(t)/dt + Vo(t)/(RC) = Vi(t)/(RC)　　…(*)

左辺を「関数積の微分」と見立てて変形するのが「定数変化」流の手。

(*) 式にて、
　Vo(t) = k(t)e^A(t)　　…(**)
　ただし A'(t) = -1/(RC)
とおくと
　dVo(t)/dt + Vo(t)/(RC)
　= k'(t)e^A(t) + k(t)A'(t)e^A(t) - A'(t)k(t)e^A(t)
　= k'(t)e^A(t)
になります。
(*) へ代入して移項すれば、
　k'(t) = {e^{-A(t)}*Vi(t)/{RC}
これを積分して、
　k(t) = C + ∫{e^{-A(t)}*Vi(t)/{RC} dt

(**) により、
　Vo(t) = k(t)e^A(t) = e^A(t)*[C + ∫{e^{-A(t)}*Vi(t)/{RC} dt]
　ただし C は任意定数

初期条件代入は残務として、割愛。

お礼

分かり易いご回答で理解できました。
大変ありがとうございました。